Как найти площадь четырехугольника, вписанного в окружность

Как найти площадь четырехугольника, вписанного в окружность — если известны все четыре стороны, применяют формулу Брахмагупты: $S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$, где $p$ — полупериметр.

Если известно, что диагонали пересекаются под прямым углом, площадь считают проще: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$. Оба способа подходят только для выпуклого четырёхугольника, вписанного именно в одну окружность, а не в произвольную фигуру. Для прямоугольника, который тоже вписывается в окружность, обе формулы упрощаются до произведения сторон.

Разбор по случаям

Примеры

Известны все стороны. Четырёхугольник, вписанный в окружность, имеет стороны $a = 5$ см, $b = 5$ см, $c = 8$ см и $d = 8$ см.

Полупериметр равен $p = \frac{5+5+8+8}{2} = 13$ см.

По формуле Брахмагупты площадь равна $S = \sqrt{(13-5)(13-5)(13-8)(13-8)} = \sqrt{8 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 5} = \sqrt{1600} = 40$ см².

Формула работает для любого выпуклого четырёхугольника, если он действительно вписан в одну окружность, что подтверждается условием задачи. Такую же площадь получают и по формуле для равнобедренной трапеции, если посчитать фигуру именно так.

Перпендикулярные диагонали. В другом четырёхугольнике, вписанном в окружность, диагонали пересекаются под прямым углом и равны $d_1 = 6$ см и $d_2 = 9$ см.

Площадь находят по формуле для перпендикулярных диагоналей: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 27$ см².

Эта формула короче формулы Брахмагупты и не требует знания всех четырёх сторон фигуры отдельно. Такой способ особенно удобен, когда сторон в условии нет вовсе, а даны только длины обеих диагоналей.

Частые ошибки

• Формулу Брахмагупты применяют к четырёхугольнику, который не вписан в окружность, и получают неверный результат.
• Полупериметр считают как сумму всех сторон, забывая разделить её на два.
• Диагонали в формуле перпендикулярного случая перемножают и не делят пополам, завышая площадь вдвое.

Коротко

Как найти площадь четырехугольника, вписанного в окружность — по формуле Брахмагупты через все стороны или проще, через полупроизведение диагоналей, если они перпендикулярны. Главное условие для обеих формул — четырёхугольник должен быть выпуклым и действительно вписанным в одну окружность.