Перейти к содержанию
НейроСова
Нейро
Сова

Как найти площадь разностороннего четырехугольника

Общий четырёхугольник со сторонами разной длины разбивают на два треугольника или считают через диагонали.

ГеометрияОбновлено 8 сентября 2026 г.3 мин чтения

Как найти площадь разностороннего четырехугольника?

Нейросова

Чтобы понять, как найти площадь разностороннего четырехугольника, чаще всего проводят диагональ и делят фигуру на два треугольника: площадь каждого считают по двум сторонам и углу между ними, а результаты складывают.

Если известны обе диагонали и угол между ними, площадь находят сразу по формуле S=12d1d2sin⁡θS = \frac12 d_1 d_2 \sin\theta, без разбиения на треугольники вовсе.

Способ выбирают по тому, какие именно величины даны в условии конкретной задачи.

S=12d1d2sin⁡θS = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\theta

Разбор по случаям

Что известноФормулаКогда применять
Известны обе диагонали d1 и d2 и угол θ между нимиS=12d1d2sin⁡θS = \frac12 d_1 d_2 \sin\thetaСамый быстрый способ для выпуклого четырёхугольника, если диагонали и угол уже даны в условии
Диагональ делит четырёхугольник на два треугольника, в каждом известны две стороны и угол при вершинеS=12absin⁡α+12cdsin⁡βS = \frac12 a b \sin\alpha + \frac12 c d \sin\betaОсновной способ, когда диагонали не заданы явно, а стороны и углы при противоположных вершинах известны
Известны все четыре стороны a, b, c, d и сумма двух противоположных угловS=(p−a)(p−b)(p−c)(p−d)−abcdcos⁡2A+C2S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\frac{A+C}{2}}Формула Бретшнейдера для четырёхугольника общего вида, p — полупериметр фигуры
Заданы координаты всех четырёх вершин на координатной плоскостиS=12∣x1(y2−y4)+x2(y3−y1)+x3(y4−y2)+x4(y1−y3)∣S = \frac12 \lvert x_1(y_2-y_4)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_4-y_2)+x_4(y_1-y_3)\rvert Удобно, если четырёхугольник задан не сторонами и углами, а точками с координатами

Примеры

Через диагонали и угол. Диагонали четырёхугольника равны d1=10d_1=10 см и d2=8d_2=8 см, угол между ними θ=60∘\theta=60^\circ.

Площадь S=12⋅10⋅8⋅sin⁡60∘=40⋅0,866≈34,6S=\frac12\cdot10\cdot8\cdot\sin60^\circ=40\cdot0{,}866\approx34{,}6 см², при этом сами диагонали пересекаются не под прямым углом, а синус учитывает наклон между ними.

Разбиение на два треугольника. Диагональ делит фигуру на два треугольника.

В первом стороны 66 см и 77 см, угол между ними 50∘50^\circ, площадь 12⋅6⋅7⋅sin⁡50∘≈16,1\frac12\cdot6\cdot7\cdot\sin50^\circ\approx16{,}1 см².

Во втором стороны 55 см и 99 см, угол 70∘70^\circ, площадь ≈21,1\approx21{,}1 см². Всего S≈37,2S\approx37{,}2 см².

Частые ошибки

  • Путают формулу для прямоугольника или параллелограмма с формулой для четырёхугольника общего вида, где произведение сторон площадь не задаёт.
  • Складывают площади двух треугольников после разбиения диагональю, не проверив, что для каждого учтён именно угол при его собственной вершине.
  • Подставляют в формулу с диагоналями угол между сторонами фигуры вместо угла между самими диагоналями.

Коротко

Итог: как найти площадь разностороннего четырехугольника — разбить его диагональю на два треугольника и сложить их площади, либо сразу использовать диагонали и угол между ними. Для сложных случаев со всеми сторонами и углами применяют формулу Бретшнейдера.

Учебный бот Нейросовы

Бесплатный помощник по учёбе — не только по теме «Геометрия». Решит задачу по действиям, объяснит непонятное место своими словами, ответит на вопросы в конце параграфа.

  • Любой учебный вопрос
  • Понимает фото задания
  • Без регистрации
Спросить бота

Ещё по теме

А можно не писать самому