Как найти площадь кольца

Чтобы понять, как найти площадь кольца, нужно вычислить разность площадей двух кругов — внешнего и внутреннего. Формула выглядит так: $S = \pi(R^2 - r^2)$, где R — внешний радиус, а r — внутренний.

Например, при $R = 10$ см и $r = 6$ см площадь равна $S = \pi(100 - 36) = 64\pi \approx 200{,}96$ см².

Достаточно знать оба радиуса, чтобы сразу подставить их в готовую формулу. Такой способ работает для любого кольца, где обе окружности имеют общий центр.

Разбор по случаям

Примеры

По радиусам. Внешний радиус кольца $R = 10$ см, внутренний $r = 6$ см. Площадь кольца равна разности площадей двух кругов: $S = \pi(R^2 - r^2)$.

Подставляем значения: $S = \pi(10^2 - 6^2) = \pi(100 - 36) = 64\pi$.

Округляя $\pi \approx 3{,}14$, получаем $S = 64 \cdot 3{,}14 \approx 200{,}96$ см² — именно столько места занимает сама кольцевая полоса между окружностями.

Такой результат всегда получают, вычитая площадь маленького внутреннего круга из площади большого внешнего круга.

По ширине кольца. Внутренний радиус кольца $r = 5$ см, ширина кольца $w = 2$ см, значит внешний радиус $R = 5 + 2 = 7$ см.

Тогда используем формулу через ширину: $S = \pi w (2r + w) = \pi \cdot 2 \cdot (2 \cdot 5 + 2) = \pi \cdot 2 \cdot 12 = 24\pi$.

Округляя, получаем $S \approx 24 \cdot 3{,}14 = 75{,}36$ см², что совпадает с расчётом через оба радиуса напрямую.

Такой способ особенно удобен, когда в условии задачи известна не пара радиусов, а именно ширина кольцевой полосы.

Частые ошибки

• Вычитают радиусы до возведения в квадрат, R минус r, вместо разности их квадратов R² минус r².
• Забывают, что кольцо — это разность площадей, и по ошибке считают площадь только внешнего круга.
• Путают ширину кольца с внутренним радиусом при подстановке значений в формулу через ширину.

Коротко

Площадь кольца равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов и вычисляется по формуле S = π(R² - r²). Именно так отвечают на вопрос, как найти площадь кольца, независимо от того, даны радиусы, диаметры, ширина кольца или длины окружностей.