Как найти площадь разностороннего треугольника

Как найти площадь разностороннего треугольника, зависит от того, какие данные даны в условии задачи. Если известны все три стороны, применяют формулу Герона: сначала находят полупериметр, затем площадь через корень из произведения. Если известны две стороны и угол между ними, площадь считают через синус этого угла. При известных основании и высоте используют произведение основания на высоту, делённое пополам.

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Разбор по случаям

Примеры

по формуле Герона. Стороны треугольника равны $5$ см, $6$ см и $7$ см — все стороны разные, поэтому применяем формулу Герона. Сначала находим полупериметр: $p = \dfrac{5+6+7}{2} = 9$ см.

Затем вычисляем площадь по формуле Герона: $S = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} \approx 14{,}7$ см².

Этот способ универсален и подходит для любого треугольника, если известны длины всех трёх сторон, а высота или угол не даны в условии задачи.

через угол между сторонами. Известны стороны $8$ см и $10$ см, угол между ними равен $30^\circ$.

Площадь находим по формуле: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} \cdot 80 \cdot 0{,}5 = 20$ см².

Такой способ удобен, когда в условии прямо даны две стороны и угол между ними, а третья сторона неизвестна, поскольку формула через синус угла сразу даёт готовый результат.

Частые ошибки

• Путают полупериметр с периметром и подставляют в формулу Герона сумму сторон без деления на два.
• Забывают, что угол в формуле через синус нужно брать между теми самыми сторонами, а не между стороной и высотой.
• Складывают стороны как в периметре вместо того, чтобы применить формулу площади через высоту или через синус угла.

Коротко

Как найти площадь разностороннего треугольника, определяют по тому, что известно: три стороны — формула Герона, две стороны и угол — через синус, основание и высота — их произведение пополам. Во всех случаях главное точно подставить числа и не перепутать полупериметр с периметром.