Как найти площадь листа ОГЭ

Как найти площадь листа ОГЭ: если фигура — классический «лист», образованный двумя дугами окружностей из противоположных вершин квадрата, площадь равна разности удвоенной четверти круга и площади квадрата. Если фигура — произвольный многоугольник на клетчатой бумаге, применяют формулу Пика: считают узлы внутри контура и на границе, складывают внутренние точки с половиной граничных узлов и вычитают единицу.

$S = \left(\dfrac{\pi}{2} - 1\right) a^2$

Разбор по случаям

Примеры

Лист через дуги. Лист образован двумя дугами окружностей радиусом $r = 2\text{ см}$, проведёнными из противоположных вершин квадрата со стороной $a = 2\text{ см}$.

Площадь одной четверти круга равна $\dfrac{\pi r^2}{4} = \dfrac{3{,}14 \cdot 4}{4} = 3{,}14\text{ см}^2$.

Две четверти вместе покрывают квадрат с двойным наложением в середине: $2 \cdot 3{,}14 - 4 = 2{,}28\text{ см}^2$.

Значит, площадь листа равна $2{,}28\text{ см}^2$, и этот же результат даёт готовая формула $(\pi/2 - 1)a^2$.

Многоугольник по клеткам. Фигура на клетчатой бумаге напоминает лист и имеет вершины строго в узлах сетки. Подсчитываем точки: внутри контура находится $B = 5$ узлов, а на самой границе лежит $\Gamma = 10$ узлов.

По формуле Пика: $S = B + \dfrac{\Gamma}{2} - 1 = 5 + \dfrac{10}{2} - 1 = 5 + 5 - 1 = 9\text{ см}^2$.

Площадь фигуры равна $9\text{ см}^2$, если сторона клетки равна одному сантиметру, а границу и внутренние узлы удобно отмечать точками при подсчёте.

Частые ошибки

• Путают площадь четверти круга с площадью половины круга и подставляют в формулу неверный коэффициент.
• Считают клетки внутри фигуры на глаз вместо точного применения формулы Пика по узлам сетки.
• Забывают вычесть площадь квадрата при сложении двух четвертей круга и получают площадь листа вдвое больше настоящей.

Коротко

Как найти площадь листа ОГЭ — если фигура образована двумя дугами, применяют формулу (π/2 − 1)·a², а для произвольного контура на сетке считают узлы по формуле Пика. Оба способа дают точный ответ без лишних построений и дополнительных измерений.