Как найти площадь основания правильной треугольной пирамиды

Как найти площадь основания правильной треугольной пирамиды: основание — равносторонний треугольник, поэтому площадь равна корню из трёх, делённому на четыре, умноженному на квадрат стороны. Если сторона неизвестна, но дан периметр основания, сторону сначала находят делением периметра на три, а затем подставляют в ту же формулу площади. Такая же формула работает и при известной высоте равностороннего треугольника, если предварительно выразить через неё сторону.

$S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

Разбор по случаям

Примеры

дана сторона основания. Сторона равностороннего основания $a = 6$ см.

Площадь основания $S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3}$ см².

Ответ оставляют именно в таком виде с корнем из трёх, так как это число иррациональное.

дан периметр основания. Периметр равностороннего основания $P = 24$ см. Сторона равна $a = \frac{24}{3} = 8$ см.

Площадь основания $S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 = 16\sqrt{3}$ см².

Частые ошибки

• Забывают, что площадь основания пирамиды здесь равна площади равностороннего треугольника, и используют формулу для произвольного треугольника.
• Путают апофему основания, то есть высоту равностороннего треугольника, с апофемой самой пирамиды, то есть с высотой её боковой грани.
• При переходе от периметра к стороне делят периметр не на три, как положено для треугольника, а на четыре, будто это квадрат в самом основании.

Коротко

Как найти площадь основания правильной треугольной пирамиды: достаточно вспомнить, что основание — равносторонний треугольник, и применить формулу площади через сторону, периметр, высоту или радиус описанной окружности. Главное — не перепутать апофему основания с апофемой боковой грани самой пирамиды при подстановке чисел.