Как найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды

Как найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды: складывают площадь квадратного основания и боковую поверхность, равную половине произведения периметра основания на апофему боковой грани. Формула выглядит как сумма квадрата стороны основания и удвоенного произведения стороны на апофему. Саму апофему часто сначала находят по теореме Пифагора через высоту пирамиды или боковое ребро, а уже потом подставляют результат в общую формулу площади поверхности пирамиды. Единицы измерения площади получаются квадратными, если сторона задана в сантиметрах или метрах.

$S = a^2 + 2 a l$

Разбор по случаям

Примеры

апофема дана напрямую. Сторона основания $a = 6$ см, апофема боковой грани $l = 5$ см. Площадь основания $a^2 = 36$ см².

Боковая поверхность $2 a l = 2 \cdot 6 \cdot 5 = 60$ см².

Полная площадь поверхности $S = 36 + 60 = 96$ см².

дана высота пирамиды. Сторона основания $a = 8$ см, высота пирамиды $h = 3$ см.

Апофему находим по теореме Пифагора: $l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ см.

Тогда $S = 8^2 + 2 \cdot 8 \cdot 5 = 64 + 80 = 144$ см².

Частые ошибки

• Путают апофему пирамиды, то есть высоту боковой грани, с высотой самой пирамиды и подставляют в формулу не то значение.
• Забывают прибавить площадь квадратного основания, поэтому площадь поверхности пирамиды получается неполной, только боковой.
• При вычислении апофемы через боковое ребро ошибочно используют половину диагонали основания вместо половины стороны квадрата.

Коротко

Как найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды: нужно сложить площадь квадратного основания со площадью боковой поверхности, вычисленной через апофему боковой грани. Если апофема заранее не дана, её находят по теореме Пифагора из высоты пирамиды или бокового ребра, а затем подставляют результат в общую формулу площади поверхности пирамиды, не забывая про квадратные единицы измерения.