Как найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды

Как найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды: применить формулу $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$, где $P$ это периметр основания, а $l$ это апофема, то есть высота боковой грани, проведённая к её основанию.

Апофему можно найти через высоту пирамиды и радиус вписанной в основание окружности по теореме Пифагора, если она не дана в условии задачи напрямую. Периметр основания считают как сумму длин всех его сторон, а для правильного многоугольника — как произведение стороны на число сторон.

$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P \cdot l$

Разбор по случаям

Примеры

Правильная четырёхугольная пирамида со стороной 6 см. Сторона основания $a=6\text{ см}$, апофема $l=5\text{ см}$. Периметр основания: $P=4a=24\text{ см}$.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок}=\frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5=60\text{ см}^2$.

Такой расчёт подходит для любой правильной четырёхугольной пирамиды с известной апофемой. Каждая из четырёх боковых граней при этом представляет собой равнобедренный треугольник с основанием шесть сантиметров и высотой пять сантиметров, проведённой из вершины к середине основания.

Правильная треугольная пирамида со стороной 4 см. Сторона основания $a=4\text{ см}$, высота пирамиды $h=3\text{ см}$, радиус вписанной окружности основания $r=\frac{a}{2\sqrt3}\approx1,15\text{ см}$.

Апофема: $l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{9+1,33}\approx3,2\text{ см}$.

Периметр: $P=3a=12\text{ см}$.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок}=\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3,2\approx19,2\text{ см}^2$.

Такое приближённое значение получается из-за округления апофемы, точный расчёт даёт результат чуть больше девятнадцати квадратных сантиметров, что не влияет на итоговый ответ при округлении до десятых.

Частые ошибки

• Путают апофему боковой грани с высотой самой пирамиды, хотя это разные отрезки фигуры.
• Берут периметр основания только для одной стороны вместо суммы всех сторон многоугольника.
• Используют формулу площади полной поверхности вместо площади только боковой поверхности пирамиды.

Коротко

Как найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды — умножить периметр основания на апофему и разделить результат пополам. Апофему при необходимости находят через высоту пирамиды и радиус окружности, вписанной в основание, по теореме Пифагора.