Как найти площадь полусферы

Как найти площадь полусферы — если нужна только выпуклая (сферическая) часть, применяют формулу $S = 2\pi r^2$, это ровно половина площади поверхности целой сферы.

Если нужна полная площадь вместе с плоским круглым основанием, к выпуклой части добавляют площадь этого круга: $S = 2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2$.

Выбор формулы зависит от того, входит ли основание в поверхность фигуры по условию задачи. Обе формулы получают из площади поверхности целой сферы $4\pi r^2$, деля её пополам и при необходимости добавляя круг.

Разбор по случаям

Примеры

Выпуклая часть полусферы. Радиус полусферы равен $r = 6$ см, требуется площадь только выпуклой сферической части без основания.

Площадь находят по формуле $S = 2\pi r^2 = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 36 = 226{,}08$ см².

Такой расчёт применяют, например, для купола здания, у которого плоское основание закрыто перекрытием и в поверхность купола не входит. Диаметр этой полусферы равен $12$ см, но в формулу подставляют именно радиус.

Полная поверхность с основанием. Та же полусфера радиусом $r = 6$ см стоит на плоскости как половина мяча, и нужна вся её поверхность, включая плоский круг основания.

Площадь находят по формуле $S = 3\pi r^2 = 3 \cdot 3{,}14 \cdot 36 = 339{,}12$ см².

Разница с предыдущим примером равна как раз площади круга-основания: $339{,}12 - 226{,}08 = 113{,}04$ см².

Частые ошибки

• К выпуклой части прибавляют площадь основания как половину круга вместо целого круга.
• Формулу площади поверхности целой сферы $4\pi r^2$ используют для полусферы без деления пополам.
• Забывают добавить площадь круга-основания, когда по условию задачи нужна именно полная поверхность.

Коротко

Как найти площадь полусферы — для выпуклой части умножить квадрат радиуса на два числа пи, а для полной поверхности добавить ещё одну такую же площадь круга-основания. Итоговый коэффициент перед $\pi r^2$ равен двум или трём в зависимости от того, что именно спрашивают в задаче.