Как найти площадь произвольного четырехугольника

Чтобы понять, как найти площадь произвольного четырехугольника, чаще всего проводят одну из диагоналей и разбивают фигуру на два треугольника, площадь каждого из которых считают отдельно — через основание и высоту или по формуле Герона. Затем обе площади просто складывают, ведь диагональ является общей стороной для обоих треугольников и не входит в итоговую площадь дважды. Если известны длины диагоналей и угол между ними, площадь находят ещё быстрее — через синус этого угла.

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\varphi$

Разбор по случаям

Примеры

По диагоналям и углу. Диагонали четырёхугольника равны $d_1 = 10$ см и $d_2 = 8$ см, а угол между ними составляет $\varphi = 30^\circ$, при этом табличное значение $\sin 30^\circ = 0{,}5$.

Подставляем все значения в формулу площади через диагонали: $S = \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 8\cdot 0{,}5 = \frac{1}{2}\cdot 40 = 20$.

Площадь четырёхугольника равна $20$ квадратных сантиметров, и этот способ удобен тем, что вообще не требует знания длин сторон фигуры, а только диагоналей и угла между ними.

Через диагональ и формулу Герона. Диагональ четырёхугольника $AC = 13$ см делит всю фигуру на два треугольника: первый со сторонами $5$, $12$ и $13$ см, второй со сторонами $13$, $14$ и $15$ см.

Площадь первого треугольника считаем по формуле Герона: $S_1 = \sqrt{15\cdot 10\cdot 3\cdot 2} = \sqrt{900} = 30$ см².

Площадь второго треугольника: $S_2 = \sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$ см².

Складываем обе площади, ведь диагональ здесь общая сторона, а не лишняя фигура: $S = 30+84 = 114$ см².

Частые ошибки

• Считают диагональ дополнительной стороной фигуры и прибавляют её длину к периметру ещё раз.
• Применяют формулу площади прямоугольника или параллелограмма к фигуре с разными сторонами и углами.
• Путают синус и косинус угла между диагоналями при подстановке значений в формулу площади.

Коротко

Площадь произвольного четырехугольника находят, разбивая фигуру диагональю на два треугольника и складывая их площади, либо через формулу с диагоналями и синусом угла между ними. Такой вопрос, как найти площадь произвольного четырехугольника, решается именно сведением к более простым фигурам, для которых формулы уже известны.