Как найти площадь произвольного треугольника

Как найти площадь произвольного треугольника, зависит от набора данных в условии задачи. По трём сторонам применяют формулу Герона: сначала находят полупериметр, затем площадь через корень из произведения разностей. По двум сторонам и углу между ними площадь считают через синус угла. По основанию и высоте площадь равна половине их произведения, независимо от формы треугольника — остроугольного, тупоугольного или прямоугольного, поскольку формулы работают универсально для любого вида.

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Разбор по случаям

Примеры

по трём сторонам. Стороны треугольника равны $9$ см, $10$ см и $11$ см.

Полупериметр: $p = \dfrac{9+10+11}{2} = 15$ см.

По формуле Герона площадь равна: $S = \sqrt{15 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4} = \sqrt{1800} \approx 42{,}4$ см².

Такой способ подходит для любого треугольника, если известны длины всех трёх его сторон и больше ничего не дано в условии задачи, а высоты и углы неизвестны.

по основанию и высоте. Основание треугольника равно $12$ см, а высота, проведённая к нему, равна $7$ см.

Площадь находим по формуле: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 7 = 42$ см².

Этот способ работает для любого треугольника — остроугольного, тупоугольного или прямоугольного, если высота к выбранному основанию уже известна или отмечена на чертеже к задаче.

Частые ошибки

• Забывают разделить сумму всех трёх сторон на два при вычислении полупериметра в формуле Герона.
• Берут высоту, проведённую не к тому основанию, которое указано в условии задачи по рисунку.
• Путают угол между двумя данными сторонами с углом при третьей вершине и подставляют не то значение.

Коротко

Как найти площадь произвольного треугольника, определяют по тому, что дано в условии: три стороны — формула Герона, две стороны с углом — через синус, основание с высотой — их произведение пополам. Тип треугольника при этом значения не имеет.