Как найти площадь сечения шара

Как найти площадь сечения шара, зависит от того, что известно: если даны радиус шара $R$ и расстояние от центра до плоскости $d$, сначала находят радиус окружности сечения $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ по теореме Пифагора, а затем площадь $S = \pi r^2$. Если плоскость проходит через центр шара, сечение называют большим кругом, и тогда $d = 0$, а площадь равна просто $S = \pi R^2$, то есть площади самого большого круга, какой вообще можно вырезать из шара такого радиуса.

$S = \pi r^2, \; r = \sqrt{R^2 - d^2}$

Разбор по случаям

Примеры

Радиус шара и расстояние до плоскости. Радиус шара равен $R = 10$ см, плоскость сечения проходит на расстоянии $d = 6$ см от центра.

По теореме Пифагора радиус окружности сечения равен $r = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100-36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Площадь сечения равна $S = \pi r^2 = 3,14 \cdot 64 = 200,96$ см² — это круг заметно меньше самого большого круга шара.

Если бы расстояние $d$ было больше радиуса шара $10$ см, такое сечение оказалось бы невозможным, ведь плоскость вообще не пересекла бы шар.

Сечение через центр шара. Радиус шара равен $R = 7$ см, а плоскость сечения проходит точно через его центр, то есть $d = 0$. В этом случае радиус окружности сечения совпадает с радиусом самого шара: $r = \sqrt{7^2 - 0^2} = 7$ см.

Площадь большого круга равна $S = \pi R^2 = 3,14 \cdot 49 = 153,86$ см² — это наибольшая возможная площадь сечения для шара такого радиуса.

Частые ошибки

• В формуле $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ путают порядок вычитания и получают отрицательное число под корнем.
• Площадь сечения считают по формуле длины окружности, а не по формуле площади круга $S = \pi r^2$.
• Расстояние от центра до плоскости $d$ путают с самим радиусом сечения $r$ и подставляют его напрямую в формулу площади.

Коротко

Как найти площадь сечения шара — значит сначала через теорему Пифагора найти радиус окружности разреза, а затем применить обычную формулу площади круга. Особый случай — сечение через центр шара, когда радиус сечения равен радиусу самого шара.