Как найти площадь сечения цилиндра

Чтобы понять, как найти площадь сечения цилиндра, сначала определяют вид сечения, а уже потом выбирают формулу. Осевое сечение, проходящее через ось цилиндра, — прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$, его площадь $S = 2rh$. Сечение, параллельное оси, но смещённое от неё на расстояние $d$, тоже прямоугольник, но с хордой $2\sqrt{r^2-d^2}$ вместо диаметра основания цилиндра целиком. Сечение, перпендикулярное оси, — круг площадью $\pi r^2$, равный площади основания цилиндра.

Разбор по случаям

Примеры

Осевое сечение. Цилиндр имеет радиус основания $r=3$ см и высоту $h=8$ см, секущая плоскость проходит точно через его ось симметрии, а не сбоку. Осевое сечение цилиндра всегда представляет собой прямоугольник со сторонами $2r=6$ см и $h=8$ см.

Площадь этого сечения $S = 2rh = 2\cdot3\cdot8=48$ см² — обычное умножение сторон получившегося прямоугольника друг на друга без остатка.

Сечение с хордой. Цилиндр с радиусом $r=5$ см и высотой $h=10$ см рассечён плоскостью, параллельной оси цилиндра, но проходящей на расстоянии $d=3$ см от неё, а не через саму ось симметрии фигуры.

Половина хорды по теореме Пифагора $\sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{25-9}=4$ см, значит вся хорда равна $8$ см.

Площадь такого сечения $S = 8\cdot10=80$ см² — хорду умножили на высоту цилиндра.

Частые ошибки

• Путают осевое сечение цилиндра с сечением, параллельным основанию, которое всегда является кругом.
• Забывают, что хорда сечения короче диаметра, если секущая плоскость не проходит через ось.
• При сечении, параллельном оси, берут радиус целиком вместо половины хорды по теореме Пифагора.

Коротко

Итог: как найти площадь сечения цилиндра — определить тип сечения и применить нужную формулу: 2rh для осевого сечения, площадь круга для сечения, перпендикулярного оси, или формулу с хордой для смещённой секущей плоскости. Вид сечения определяет выбор формулы полностью.