Как найти площадь восьмиугольника

Как найти площадь восьмиугольника — если он правильный, площадь считают по формуле $S = 2(1+\sqrt2)a^2$ через сторону $a$ или по формуле $S = 2\sqrt2 R^2$ через радиус $R$ описанной окружности. Если восьмиугольник получен срезанием углов квадрата со стороной $A$ и катетами среза $x$, площадь равна $S = A^2 - 2x^2$. Для неправильного восьмиугольника фигуру разбивают на треугольники или прямоугольники и складывают их площади. Выбор формулы зависит от того, что дано в условии: сторона, радиус окружности или способ построения фигуры.

Разбор по случаям

Примеры

по стороне. Правильный восьмиугольник имеет сторону $a = 4\text{ см}$.

Площадь считают по формуле $S = 2(1+\sqrt2)a^2 = 2 \cdot 2{,}414 \cdot 16 \approx 77{,}3\text{ см}^2$.

Число $1+\sqrt2 \approx 2{,}414$ — постоянный коэффициент для правильного восьмиугольника, его можно один раз посчитать и запомнить. Такая формула работает только для правильного восьмиугольника, где все стороны и углы равны. Если сторону увеличить вдвое, площадь вырастет в четыре раза, так как она входит в формулу в квадрате.

через срезание углов квадрата. Квадрат со стороной $A = 10\text{ см}$ срезают по углам треугольниками с катетами $x = 3\text{ см}$ каждый, получая восьмиугольник.

Площадь такой фигуры равна $S = A^2 - 2x^2 = 100 - 2 \cdot 9 = 100 - 18 = 82\text{ см}^2$.

Каждый срезанный угол убирает треугольник площадью $\frac{x^2}{2} = 4{,}5\text{ см}^2$, а таких треугольников четыре.

Такой способ удобен, когда восьмиугольник получен из квадрата одинаковыми срезами по углам. Если срезы одинаковы и правильно подобраны, восьмиугольник получается правильным, но формула площади работает и без этого условия.

Частые ошибки

• Применяют формулу правильного восьмиугольника к неправильной фигуре, где стороны разной длины.
• Забывают, что коэффициент 1+√2 умножается именно на квадрат стороны, а не на саму сторону.
• При срезании углов квадрата вычитают площадь одного треугольника вместо площади всех четырёх.

Коротко

Чтобы понять, как найти площадь восьмиугольника, сначала определяют, правильный он или нет: для правильного используют формулу через сторону или радиус, а для составной фигуры — разбиение на простые части. Способ через срезание углов квадрата даёт ту же площадь без тригонометрических коэффициентов.