Как найти площадь выпуклого четырехугольника

Чтобы понять, как найти площадь выпуклого четырехугольника, его делят диагональю на два треугольника и складывают их площади, вычисленные по формуле Герона через известные стороны каждого треугольника. Более быстрый способ — использовать обе диагонали и угол между ними: площадь равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними, и разбивать фигуру на части не нужно. Если известны координаты всех вершин на плоскости, площадь находят по формуле площади многоугольника через сумму произведений координат соседних точек, а для вписанного четырёхугольника со всеми сторонами удобна формула Брахмагупты.

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\theta$

Разбор по случаям

Примеры

Диагонали 10 и 8 см под углом 30°. Диагонали четырёхугольника равны $d_1 = 10$ см и $d_2 = 8$ см, угол между ними равен $\theta = 30^\circ$, а $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

Подставляем известные значения в формулу площади через диагонали и получаем $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 20$ см², не разбивая фигуру на треугольники.

Координаты вершин на клетчатой плоскости. Вершины четырёхугольника заданы точками $A(0,0)$, $B(6,0)$, $C(8,4)$ и $D(2,5)$ в сантиметрах на клетчатой плоскости. Сумма произведений координат соседних точек по формуле площади многоугольника равна $56$, поэтому площадь равна $S = \frac{56}{2} = 28$ см², и обход вершин при этом выбран по часовой стрелке.

Частые ошибки

• Складывают диагонали вместо того, чтобы умножать их друг на друга и на синус угла между ними.
• Ищут площадь выпуклого четырёхугольника по формуле прямоугольника, хотя стороны и углы у него на самом деле разные.
• Путают порядок обхода вершин при подсчёте по координатам и получают неверный результат без модуля суммы.

Коротко

Чтобы понять, как найти площадь выпуклого четырехугольника, выбирают удобный способ: диагонали с углом между ними, разбиение на треугольники или координаты вершин. Любой из способов даёт верный результат, если данные подставлены без ошибок в порядке точек и знаках слагаемых.