Как найти разность векторов

Чтобы понять, как найти разность векторов, используют геометрический или координатный способ.

При геометрическом построении разность векторов определяется как сумма первого вектора и вектора, противоположного второму: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$.

Также можно совместить начала векторов: разность направлена от конца вычитаемого к концу уменьшаемого. В координатной форме разность векторов находится вычитанием соответствующих координат.

$\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = (x_a - x_b; y_a - y_b)$

Разбор по случаям

Примеры

Координатный метод. Найдем разность векторов $\vec{a}(5; -2)$ и $\vec{b}(3; 4)$. Для расчета разности необходимо из координат вектора $\vec{a}$ поочередно вычесть соответствующие координаты вектора $\vec{b}$. Получаем абсциссу $x = 5 - 3 = 2$ и ординату $y = -2 - 4 = -6$. Таким образом, вектор разности имеет координаты $\vec{c}(2; -6)$.

Геометрический метод. Построим разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отложенных из общей точки $O$. Пусть $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.

Чтобы получить вектор разности $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$, соединяем конец вычитаемого вектора $B$ с концом уменьшаемого вектора $A$.

Направленный отрезок $\vec{BA}$ является искомым вектором разности $\vec{c}$.

Длина разности векторов. Даны два вектора, длины которых составляют $a = 5$ и $b = 8$, а угол между ними равен $60^\circ$. Требуется найти длину вектора разности. Для этого применим теорему косинусов для треугольника, образованного исходными векторами.

Формула для вычисления длины разности имеет вид $c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2 a b \cos\alpha}$.

Подставим известные величины: квадрат первой длины равен $25$, квадрат второй равен $64$. Значение косинуса угла $60^\circ$ составляет $0.5$.

Находим удвоенное произведение: $2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 0.5 = 40$.

Подставляем результаты под знак корня: $c = \sqrt{25 + 64 - 40} = \sqrt{49} = 7$.

Искомый модуль вектора разности равен $7$.

Частые ошибки

• Ошибочное направление стрелки геометрической разности от уменьшаемого к вычитаемому.
• Сложение координат вместо их вычитания при аналитическом расчете разности векторов.
• Забывание смены знаков координат вычитаемого вектора при раскрытии скобок.

Коротко

Для того чтобы понять, как найти разность векторов, достаточно вычесть их соответствующие координаты или соединить их концы при общем начале. Понимание этого правила позволяет быстро решать геометрические и физические задачи.