Как найти тангенс угла в прямоугольном треугольнике

Ответ на вопрос, как найти тангенс угла в прямоугольном треугольнике, прост: нужно разделить длину противолежащего катета на длину прилежащего катета. Тангенс острого угла выражает отношение этих сторон. Если известны синус и косинус этого же угла, тангенс угла в прямоугольном треугольнике находим как их отношение. Также при известном прилежащем катете и гипотенузе можно сначала найти второй катет по теореме Пифагора.

$\tg \alpha = \frac{a}{b}$

Разбор по случаям

Примеры

Нахождение тангенса по двум катетам. Дано: прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Длина противолежащего катета $BC = 6\text{ см}$, а прилежащего катета $AC = 8\text{ см}$. Решение: по определению тангенс острого угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Подставим значения: $\tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{6}{8} = 0{,}75$.

Ответ: тангенс угла $A$ равен $0{,}75$.

Нахождение тангенса через гипотенузу. Дано: прямоугольный треугольник $ABC$, где гипотенуза $AB = 10\text{ см}$, а прилежащий катет $AC = 8\text{ см}$.

Решение: сначала найдем неизвестный противолежащий катет $BC$ по теореме Пифагора: $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{100 - 64} = 6\text{ см}$.

Теперь вычислим тангенс угла $A$: $\tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{6}{8} = 0{,}75$.

Ответ: $0{,}75$.

Нахождение тангенса по гипотенузе и противолежащему катету. В прямоугольном треугольнике известны длина гипотенузы $c = 13$ см и длина противолежащего катета $a = 5$ см. Необходимо вычислить тангенс острого угла $\alpha$.

Сначала применим теорему Пифагора для поиска неизвестного прилежащего катета $b$: $b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Зная оба катета, используем основное определение геометрической функции тангенса как отношения длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.

Подставим найденные величины в соответствующую расчетную формулу: $\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{5}{12}$.

Таким образом, тангенс искомого острого угла равен обыкновенной дроби $\frac{5}{12}$ или округленно $0{,}4167$. Полученный результат является точным ответом задачи. Ответ: $\frac{5}{12}$.

Частые ошибки

• Главная ошибка — деление прилежащего катета на противолежащий, что дает котангенс вместо тангенса.
• Учащиеся часто путают катеты с гипотенузой и подставляют наибольшую сторону в знаменатель формулы.
• При вычислениях неверно определяют, какой именно катет является противолежащим для выбранного острого угла.

Коротко

Разбирая, как найти тангенс угла в прямоугольном треугольнике, важно всегда делить противолежащий катет на прилежащий. Зная это правило и теорему Пифагора, можно легко найти тангенс угла в прямоугольном треугольнике при любых исходных данных.