Как найти тангенс острого угла

Разберем, как найти тангенс острого угла в геометрических задачах. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Чтобы найти тангенс острого угла, вычислите длину стороны, лежащей напротив угла, и разделите ее на длину прилежащей стороны. Также значение можно выразить через отношение синуса к косинусу того же угла или с помощью основного тригонометрического тождества, если известна гипотенуза.

$\tg \alpha = \frac{a}{b}$

Разбор по случаям

Примеры

Нахождение тангенса по катетам. Дано: прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катет $AC = 8\text{ см}$, лежащий при угле $A$, и катет $BC = 6\text{ см}$, лежащий напротив угла $A$. Найти тангенс угла $A$. Решение: по определению тангенса отношение противолежащего катета к прилежащему равно $\tg A = \frac{BC}{AC}$.

Подставим имеющиеся значения: $\tg A = \frac{6}{8} = 0{,}75$.

Ответ: $\tg A = 0{,}75$.

Нахождение тангенса через синус и косинус. Дано: острый угол $\alpha$, для которого известно значение $\cos \alpha = 0{,}8$. Найти тангенс угла $\alpha$.

Решение: сначала найдем синус по формуле $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - 0{,}64} = 0{,}6$.

Затем применим отношение синуса к косинусу: $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0{,}6}{0{,}8} = 0{,}75$.

Ответ: $\tg A = 0{,}75$.

Нахождение тангенса через синус угла. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ задано значение синуса острого угла $A$: $\sin A = 0{,}6$. Необходимо вычислить тангенс этого же угла $A$. Для решения задачи сначала найдем косинус угла $A$, применив основное тригонометрическое тождество.

Так как угол $A$ острый, его косинус принимает строго положительное значение: $\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A}$.

Подставим числовое значение синуса: $\cos A = \sqrt{1 - 0{,}6^2} = \sqrt{1 - 0{,}36} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8$.

На втором шаге используем определение тангенса как отношения синуса к косинусу: $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$.

Подставим известные величины и выполним деление: $\tan A = \frac{0{,}6}{0{,}8} = 0{,}75$.

Ответ: тангенс угла равен $0{,}75$.

Частые ошибки

• Путаница катетов, при которой прилежащий катет делят на противолежащий вместо обратного порядка.
• Использование гипотенузы вместо прилежащего катета при делении противолежащей стороны треугольника.
• Попытка рассчитать тангенс для прямого угла, где косинус равен нулю и функция не существует.

Коротко

Мы подробно рассмотрели, как найти тангенс острого угла с помощью сторон прямоугольного треугольника и тригонометрических тождеств. Главное — правильно определить противолежащий и прилежащий катеты, чтобы успешно найти тангенс острого угла в любой задаче.