Как найти вектор, перпендикулярный векторам

Как найти вектор, перпендикулярный векторам, зависит от того, работают на плоскости или в пространстве. На плоскости у вектора a(x, y) меняют координаты местами и меняют знак у одной из них: n = (−y, x). В пространстве вектор, перпендикулярный сразу двум векторам, находят их векторным произведением. Правильность проверяют скалярным произведением найденного вектора с каждым исходным — оно должно получиться равным нулю.

$n = (-y, x)$

Разбор по случаям

Примеры

Вектор a(3, 4) на плоскости. Дан вектор $a = (3, 4)$ на плоскости. Меняют координаты местами и меняют знак у первой из них: $n = (-4, 3)$.

Проверка: $a \cdot n = 3 \cdot (-4) + 4 \cdot 3 = -12 + 12 = 0$, значит вектор n действительно перпендикулярен вектору a.

Вектор $(4, -3)$, полученный сменой знака у другой координаты, тоже подошёл бы, только направлен в противоположную сторону относительно исходного вектора a.

Векторы a(2, 1, 0) и b(0, 1, 1) в пространстве. Даны векторы $a = (2, 1, 0)$ и $b = (0, 1, 1)$.

Перпендикулярный обоим вектор находят векторным произведением по стандартной формуле: $c = a \times b = (1, -2, 2)$.

Проверка скалярным произведением с каждым из исходных векторов: $a \cdot c = 2 - 2 + 0 = 0$ и $b \cdot c = 0 - 2 + 2 = 0$, оба произведения равны нулю, значит вектор c действительно перпендикулярен сразу обоим исходным векторам одновременно.

Частые ошибки

• На плоскости меняют координаты местами, но забывают поменять знак у одной из них, и вектор получается не перпендикулярным, а параллельным исходному.
• В пространстве путают порядок векторов в векторном произведении и получают вектор с противоположным направлением.
• Не проверяют результат скалярным произведением и не замечают арифметическую ошибку в вычислении координат.

Коротко

Перпендикулярный вектор на плоскости получают перестановкой координат со сменой знака, а в пространстве — векторным произведением двух векторов. Так отвечают на вопрос, как найти вектор, перпендикулярный векторам, и на плоскости, и в пространстве.