Как найти вектор по точкам

Как найти вектор по точкам, показывает простое правило: если известны точки $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, то вектор $\vec{AB}$ находят вычитанием координат начала из координат конца: $\vec{AB} = (x_2-x_1;\, y_2-y_1)$.

Важно не перепутать порядок точек: вектор $\vec{AB}$ и вектор $\vec{BA}$ имеют одинаковую длину, но противоположны по направлению, поэтому их координаты отличаются знаком. Такое же правило действует и на плоскости, и в пространстве, где добавляется третья координата. Формулу применяют одинаково для отрезков, сторон фигур и радиус-векторов из начала координат.

Разбор по случаям

Примеры

Вектор на плоскости. Даны точки $A(2; 5)$ и $B(7; 1)$, и нужно найти вектор, направленный от первой точки ко второй.

Чтобы найти вектор $\vec{AB}$, из координат точки $B$ вычитают координаты точки $A$ по каждой оси отдельно: $\vec{AB} = (7-2;\, 1-5) = (5; -4)$.

Обратный вектор $\vec{BA}$ будет равен $(-5; 4)$ — те же числа, но с противоположным знаком, потому что направление изменилось на строго обратное направление.

Найти вторую точку по вектору. Известна точка $A(3; -2)$ и вектор $\vec{AB} = (4; 6)$.

Чтобы найти координаты точки $B$, к координатам точки $A$ прибавляют координаты вектора: $B = A + \vec{AB} = (3+4;\, -2+6) = (7; 4)$.

Проверка: вектор от $A$ до найденной точки $B$ действительно равен $(7-3;\, 4-(-2)) = (4; 6)$, как и было дано в условии. Такой приём особенно удобен, когда в задаче вектор уже известен, а нужна лишь одна из двух точек.

Частые ошибки

• Вычитают координаты в обратном порядке — из начала вычитают конец — и получают вектор с противоположным знаком.
• Складывают координаты точек вместо вычитания и получают середину отрезка, а не вектор.
• Путают вектор AB и вектор BA, забывая, что порядок точек меняет знак каждой координаты.

Коротко

Как найти вектор по точкам — правило простое: из координат конечной точки вычитают координаты начальной по каждой оси. Порядок точек важен: он определяет направление вектора и знак его координат. Такой способ работает для отрезков, сторон многоугольников и любых задач на координатной плоскости.