Как найти длину вектора по точкам

Чтобы понять, как найти длину вектора по точкам, из координат конца вычитают координаты начала и подставляют разности в теорему Пифагора: $|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$, где $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2;y_2)$ — начало и конец вектора.

В пространстве добавляют разность третьих координат: $|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$.

Если вектор уже задан координатами $(m;n)$, длину считают как $\sqrt{m^2+n^2}$ без вычитания. Полученное число — это одновременно длина отрезка между точками A и B, поэтому таким способом находят и стороны фигур на координатной плоскости.

$|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

Разбор по случаям

Примеры

Точки на плоскости. Даны точки $A(2;1)$ и $B(5;5)$. Находим координаты вектора: $AB = (5-2;\,5-1) = (3;4)$.

Длина $|AB| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Это же число равно длине отрезка AB, если точки — концы стороны треугольника или четырёхугольника.

Точки в пространстве. Даны точки $A(0;0;0)$ и $B(3;4;12)$. Разности координат по трём осям: $3$, $4$ и $12$.

Длина $|AB| = \sqrt{3^2+4^2+12^2} = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13$.

Так же считают длину диагонали параллелепипеда, если её концы заданы координатами.

Частые ошибки

• Забывают возвести разности координат в квадрат перед сложением и складывают модули разностей напрямую.
• Путают координаты вектора с координатами самих точек и подставляют в формулу сами точки вместо их разностей.
• Не учитывают третью координату z для векторов в пространстве и решают пространственную задачу так, как будто она плоская.

Коротко

Итак, как найти длину вектора по точкам: вычесть координаты начала из координат конца и найти корень из суммы квадратов разностей. Формула одинаковая для плоскости и пространства, отличается только числом слагаемых под корнем, а результат совпадает с длиной отрезка между этими точками.