Что такое число e в математике

Число e — это иррациональное и трансцендентное число, приближённо равное 2,71828, служащее основанием натурального логарифма и показательной функции. Оно возникает как предел выражения (1 плюс 1, делённое на n) в степени n при неограниченном росте n, а также как сумма ряда обратных факториалов. Число e описывает процессы непрерывного роста — от начисления процентов до распада веществ. Именно об этом говорят, когда спрашивают, что такое число e в математике.

$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$

Разбор по случаям

Примеры

Непрерывное начисление процентов. Вклад в $A_0 = 1$ рубль под 100% годовых при непрерывном начислении процентов вырастет за год до $A = e \approx 2{,}718$ рубля, а не до двух рублей, как при разовом начислении в конце года. Чем чаще дробить единый период начисления на более мелкие промежутки, тем ближе итоговая сумма вклада подходит к числу e — именно так его впервые и вывели в математике.

Натуральный логарифм от степени e. Уравнение $e^{x} = 20$ решают через натуральный логарифм обеих частей уравнения: $x = \ln 20 \approx 3{,}0$. Число e здесь служит основанием степени, поэтому обратной операцией становится именно натуральный логарифм, обозначаемый значком ln, а не десятичный логарифм по основанию 10, который для того же числа 20 дал бы совсем другое, гораздо меньшее значение аргумента.

Частые ошибки

• Число e путают с числом пи, хотя это две разные трансцендентные константы.
• Дробь 2,7 принимают за точное значение числа e, а это лишь грубое округление.
• Предел подставляют при маленьком конечном n и получают заниженный результат вместо истинного значения.

Коротко

Что такое число e в математике, объясняет одна иррациональная константа около 2,71828 — основание натурального логарифма и предел роста при бесконечном дроблении периода начисления. Она входит в формулы непрерывного роста и показательную функцию, оставаясь трансцендентным числом без периода в записи.