Как найти точку пересечения графиков функций

Школьники часто спрашивают, как найти точку пересечения графиков функций y = f(x) и y = g(x) аналитическим способом. Для этого необходимо приравнять правые части их уравнений f(x) = g(x) и решить полученное уравнение относительно переменной x. Найденные корни будут абсциссами общих точек. Затем каждый найденный x подставляют в любое из исходных уравнений, чтобы вычислить соответствующую ординату y. Направив полученные значения в пары (x; y), вы найдете координаты. Точка пересечения графиков функций определена.

$f(x) = g(x)$

Разбор по случаям

Примеры

Линейные функции. Найдем общие точки для прямых $y = 2x - 3$ и $y = -x + 3$. Составим уравнение: $2x - 3 = -x + 3$. Перенесем слагаемые с переменной влево: $3x = 6$, откуда $x = 2$. Теперь подставим значение $x = 2$ в первое уравнение: $y = 2 \cdot 2 - 3 = 1$. Таким образом, искомая точка пересечения графиков функций имеет координаты $(2; 1)$.

Парабола и прямая. Найдем общие точки для $y = x^2$ и $y = x + 2$. Приравняем их: $x^2 = x + 2$. Перенесем все слагаемые влево: $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета корни равенства: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Найдем ординаты: $y_1 = 2 + 2 = 4$, а $y_2 = -1 + 2 = 1$. Вычислив их, получаем две точки с координатами $(2; 4)$ и $(-1; 1)$.

Гипербола и прямая. Найдем точки пересечения графиков функции обратной пропорциональности $y = \frac{6}{x}$ и линейной функции $y = x + 1$. Для этого приравняем правые части данных уравнений: $\frac{6}{x} = x + 1$. Умножим обе части полученного равенства на $x$, учитывая область допустимых значений $x \neq 0$. Перенесем все слагаемые в левую часть и получим квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета найдем корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$. Подставим найденные значения $x$ в уравнение прямой для расчета ординат. При $x_1 = 2$ значение $y_1 = 2 + 1 = 3$. При $x_2 = -3$ значение $y_2 = -3 + 1 = -2$. Искомые точки пересечения имеют координаты $(2; 3)$ и $(-3; -2)$.

Частые ошибки

• Забывают вычислить ординату y и записывают в ответ только найденный корень x.
• Приравнивают функции к нулю вместо того чтобы приравнять их правые части друг к другу.
• Теряют второй корень при решении квадратного или степенного уравнения.

Коротко

В этом разборе мы подробно рассмотрели, как найти точку пересечения графиков функций путем составления и решения равенства $f(x) = g(x)$. Каждая найденная пара чисел $(x; y)$ показывает координаты общей точки на координатной плоскости.