Как найти точку минимума функции

Чтобы понять, как найти точку минимума функции, нужно выполнить стандартный алгоритм исследования с помощью производной. Сначала найдите область определения и вычислите производную $f'(x)$. Затем найдите критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$. Нанесите корни на числовую прямую и определите знаки производной. Наглядная точка минимума функции — это критическая точка, где знак производной меняется с минуса на плюс.

$f'(x_0) = 0, \quad f''(x_0) > 0$

Разбор по случаям

Примеры

Квадратичная функция. Найдем экстремум для $f(x) = x^2 - 4x + 5$. Вычисляем производную: $f'(x) = 2x - 4$. Приравниваем к нулю: $2x - 4 = 0$, откуда $x = 2$. При $x < 2$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает. При $x > 2$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает. Знаки производной меняются с минуса на плюс, значит, искомая точка минимума функции равна $x = 2$.

Кубическая функция. Рассмотри $f(x) = x^3 - 3x$. Находим производную: $f'(x) = 3x^2 - 3$. Решаем уравнение $3(x - 1)(x + 1) = 0$, получаем критические точки $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. На интервале $(1; +\infty)$ производная положительна, на $(-1; 1)$ — отрицательна. При переходе через $x = 1$ знак меняется с минуса на плюс. Следовательно, значение $x = 1$ — это точка минимума.

Дробно-рациональная функция. Найдем точку минимума дробно-рациональной функции $f(x) = x + \frac{25}{x}$ на промежутке $x > 0$. Сначала определим область допустимых значений: знаменатель не равен нулю, рассматриваем интервал $(0, +\infty)$.

Найдем первую производную по правилу дифференцирования: $f'(x) = 1 - \frac{25}{x^2}$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: получаем $1 - \frac{25}{x^2} = 0$, следовательно, $x^2 = 25$. В силу условия $x > 0$ выбираем корень $x = 5$. Проверим знак производной слева и справа от точки $x = 5$. На интервале $(0, 5)$ производная отрицательна, $f'(x) < 0$, значит, функция убывает. На интервале $(5, +\infty)$ производная положительна, $f'(x) > 0$, значит, функция возрастает. Поскольку производная меняет знак с минуса на плюс, точка $x = 5$ является точкой минимума.

Частые ошибки

• Путаница между абсциссой точки минимума x и самим минимумом функции y.
• Неверное определение знаков производной на интервалах без проверки пробных точек.
• Игнорирование точек, в которых производная не существует, но функция непрерывна.

Коротко

Разбирая вопрос о том, как найти точку минимума функции, важно четко следовать правилу смены знаков производной. Верно найденная точка минимума функции всегда соответствует переходу от убывания графика к его возрастанию.