Как найти точку максимума функции

Разберем, как найти точку максимума функции с помощью производной. Сначала найдите область определения и вычислите производную $f'(x)$. Затем найдите критические точки, найдя корни уравнения $f'(x) = 0$. Нанесите эти точки на числовую прямую и определите знаки производной на полученных интервалах. Если при переходе через точку знак меняется с плюса на минус, то эта критическая точка и есть искомая точка максимума функции.

$f'(x) = 0, \quad f''(x_{max}) < 0$

Разбор по случаям

Примеры

Нахождение точки максимума многочлена. Найдем точку максимума функции $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 5$.

Вычислим производную: $f'(x) = -3x^2 + 6x + 9$. Приравняем ее к нулю: $-3(x^2 - 2x - 3) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Проверим знаки производной: на интервале $(-1; 3)$ производная положительна, а при $x > 3$ отрицательна. При переходе через $x = 3$ знак меняется с плюса на минус. Ответ: $x_{max} = 3$.

Поиск экстремума дробно-рациональной функции. Найдем точку максимума функции $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x}$. Область определения: $x \neq 0$.

Находим производную: $f'(x) = \frac{2x \cdot x - (x^2 + 4)}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2}$.

Приравниваем производную к нулю: $x^2 - 4 = 0$, откуда $x_1 = -2$, $x_2 = 2$. На интервале $(-\infty; -2)$ производная больше нуля, на $(-2; 0)$ — меньше нуля. Знак меняется с плюса на минус в точке $x = -2$. Ответ: $x_{max} = -2$.

Поиск точки максимума произведения линейной и показательной . Найдем точку максимума функции $f(x) = (15-x)e^{x+15}$. Сначала укажем область определения: функция непрерывна на всей числовой прямой.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения двух функций: $f'(x) = -1 \cdot e^{x+15} + (15-x)e^{x+15} = e^{x+15}(14-x)$.

Приравняем полученную производную к нулю: $e^{x+15}(14-x) = 0$. Поскольку множитель со степенным выражением $e^{x+15} > 0$ для любого значения переменной $x$, единственным корнем уравнения является $x = 14$. Разбиваем числовую прямую точкой $14$ на два интервала и проверяем знаки производной. При $x < 14$ производная $f'(x) > 0$, а при $x > 14$ производная $f'(x) < 0$. Смена знака производной с плюса на минус указывает на то, что точка $x = 14$ является точкой максимума.

Частые ошибки

• Путаница между точкой максимума и значением функции в этой точке.
• Забытая область определения функции при исследовании знаков производной.
• Ошибочное определение знака производной при переходе через точки разрыва.

Коротко

Чтобы быстро понять, как найти точку максимума функции, необходимо вычислить её производную и найти точки, где она равна нулю. Затем нужно проверить смену знака производной с плюса на минус, что подтвердит наличие точки максимума функции.