Формула расчета увеличения объема за счет ТКЛР

Формула расчета увеличения объема за счет ТКЛР имеет вид $\Delta V = V_0 \cdot 3\alpha \cdot \Delta T$.

Здесь $V_0$ обозначает начальный объем тела, $\alpha$ — температурный коэффициент линейного расширения (ТКЛР), а $\Delta T$ — разность конечной и начальной температур. Поскольку коэффициент объемного расширения $\beta$ для изотропных твердых тел и жидкостей примерно равен $3\alpha$, расчет увеличения объема за счет ТКЛР сводится к умножению исходного объема на тройной ТКЛР и величину нагрева.

$\Delta V = 3\alpha \cdot V_0 \cdot \Delta T$

Разбор по случаям

Примеры

Расчет изменения объема медного куба. Дано: куб объемом $V_0 = 1000\text{ см}^3$, ТКЛР меди $\alpha = 1.7 \cdot 10^{-5}\text{ K}^{-1}$, нагрев на $\Delta T = 50\text{ K}$.

Выполним расчет увеличения объема за счет ТКЛР.

Коэффициент объемного расширения равен $\beta = 3\alpha = 5.1 \cdot 10^{-5}\text{ K}^{-1}$.

Находим прирост объема: $\Delta V = 1000 \cdot 5.1 \cdot 10^{-5} \cdot 50 = 2.55\text{ см}^3$.

Ответ: объем увеличится на $2.55\text{ см}^3$.

Определение конечного объема стального резервуара. Дано: стальной бак объемом $V_0 = 2\text{ м}^3$ нагревается от $T_1 = 20^\circ\text{C}$ до $T_2 = 120^\circ\text{C}$.

ТКЛР стали $\alpha = 1.2 \cdot 10^{-5}\text{ K}^{-1}$.

Разница температур составляет $\Delta T = 100\text{ K}$.

Проведем расчет увеличения объема за счет ТКЛР: $\Delta V = 2 \cdot 3 \cdot (1.2 \cdot 10^{-5}) \cdot 100 = 0.0072\text{ м}^3$.

Конечный объем $V = 2 + 0.0072 = 2.0072\text{ м}^3$.

Ответ: $2.0072\text{ м}^3$.

Определение ТКЛР алюминиевого образца по изменению объема. Образец из технического алюминия имеет начальный объем $V_0 = 1000$ см$^3$. В процессе лабораторного нагревания на $\Delta T = 100$ K зафиксировано увеличение его объема на $\Delta V = 6{,}9$ см$^3$.

Для определения неизвестного ТКЛР $\alpha$ сначала найдем коэффициент объемного расширения $\beta$ по формуле: $\beta = \frac{\Delta V}{V_0 \cdot \Delta T}$.

Подставляем данные измерения: $\beta = \frac{6{,}9}{1000 \cdot 100} = 0{,}000069$ K$^{-1}$.

Далее рассчитываем искомый температурный коэффициент линейного расширения по соотношению $\alpha = \frac{\beta}{3}$.

Выполняем итоговое деление: $\alpha = \frac{0{,}000069}{3} = 0{,}000023$ K$^{-1}$, что равняется $2{,}3 \cdot 10^{-5}$ K$^{-1}$.

Полученная экспериментальная величина точно совпадает со справочным значением ТКЛР для чистого алюминия.

Частые ошибки

• Использование линейного коэффициента $\alpha$ вместо объемного $\beta = 3\alpha$ при вычислении изменения объема.
• Подстановка значения абсолютной температуры вместо разности температур $\Delta T$ в итоговое выражение.
• Неправильный перевод единиц измерения исходного объема тела при записи ответа.

Коротко

Точная Формула расчета увеличения объема за счет ТКЛР позволяет правильно вычислять тепловое расширение деталей и жидкостей в инженерных задачах. Выполняя расчет увеличения объема за счет ТКЛР, всегда подставляйте объемный коэффициент расширения, равный тройному линейному значению.