Как найти центральный угол окружности

Разберем, как найти центральный угол окружности в геометрии. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

Если известна длина дуги $l$ и радиус $r$, используется формула $\alpha = \frac{l \cdot 360^\circ}{2\pi r}$.

Если дана площадь сектора $S$ и радиус $r$, примените формулу $\alpha = \frac{S \cdot 360^\circ}{\pi r^2}$.

Также центральный угол окружности равен удвоенному вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.

Разбор по случаям

Примеры

Расчет через длину дуги и радиус. Дано: длина дуги $l = 6\pi$ см, радиус $r = 9$ см. Найти величину центрального угла $\alpha$. Решение: подставим известные значения в формулу вычисления угла через длину дуги.

Получим выражение $\alpha = \frac{6\pi \cdot 360^\circ}{2\pi \cdot 9}$.

Сокращаем число $\pi$ и числовые коэффициенты в числителе и знаменателе: $\alpha = \frac{2160^\circ}{18} = 120^\circ$.

Ответ: центральный угол окружности равен $120^\circ$.

Нахождение угла через площадь сектора. Дано: площадь кругового сектора $S = 10\pi$ см$^2$, радиус $r = 6$ см. Найти значение центрального угла $\alpha$. Решение: применим формулу связи площади сектора и угла.

Подставим числа: $\alpha = \frac{10\pi \cdot 360^\circ}{\pi \cdot 6^2} = \frac{3600\pi^\circ}{36\pi}$.

После сокращения на $\pi$ и $36$ получаем значение $\alpha = 100^\circ$. Ответ: искомый центральный угол равен $100^\circ$.

Частые ошибки

• Путаница между центральным и вписанным углами, из-за чего значение угла ошибочно делят на два вместо умножения.
• Использование длины всей окружности вместо длины конкретной дуги при подстановке в формулу.
• Забытая квадратная степень радиуса при вычислении угла через площадь кругового сектора.

Коротко

Чтобы понять, как найти центральный угол окружности, достаточно соотнести его с градусной мерой дуги или применить формулы через длину дуги и площадь сектора. Запомните, что центральный угол окружности всегда в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.