Как найти угол в окружности

Вопрос о том, как найти угол в окружности, охватывает несколько базовых случаев в зависимости от расположения вершины угла. В геометрии выделяют центральные и вписанные углы, а также углы, образованные пересекающимися хордами, секущими и касательными. Чтобы правильно найти неизвестную величину, необходимо определить, где находится вершина, на какие дуги опираются стороны и какие дополнительные свойства фигурируют в условии задачи.

$\alpha = \frac{1}{2}\smile AB$

Центральный и вписанный угол в окружности

Центральный угол в окружности имеет вершину в её центре, а его стороны пересекают окружность. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается: $\alpha = \smile AB$. Вписанный угол имеет вершину на самой окружности, а его стороны являются хордами.

Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается: $\beta = \frac{1}{2}\smile AB$.

Если вписанный и центральный углы опираются на одну и ту же дугу, то вписанный угол в два раза меньше центрального. Понимание этой связи фундаментально для решения большинства задач.

Угол с вершиной внутри окружности

Если вершина угла лежит внутри круга, но не совпадает с его центром, такой угол образован пересечением двух хорд. Градусная мера такого угла равна полусумме градусных мер двух дуг, одна из которых заключена между его сторонами, а другая — между продолжениями его сторон за вершину.

Формула имеет вид: $\gamma = \frac{\smile AB + \smile CD}{2}$.

Для применения этого метода необходимо найти градусные меры обеих дуг, высекаемых вертикальными углами на окружности.

Угол с вершиной вне окружности

Когда вершина расположена вне круга, стороны угла образуются двумя секущими, двумя касательными или секущей и касательной. Чтобы понять, как найти угол в окружности в таком случае, используют теорему о полуразности дуг.

Величина угла равна половине разности градусных мер большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами: $\delta = \frac{\smile AB - \smile CD}{2}$.

Главное условие — верно определить, какие именно дуги находятся внутри угла.

Угол между касательной и хордой

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, заключенной внутри этого угла.

Формула аналогична формуле вписанного угла: $\phi = \frac{1}{2}\smile AB$.

Любой вписанный угол в окружности, опирающийся на эту же дугу, будет равен углу между данной касательной и хордой.

Угол между двумя касательными

Если из одной точки вне окружности проведены две касательные, они образуют угол, вершина которого находится снаружи.

Этот угол равен половине разности градусных мер высекаемых дуг: $\theta = \frac{\smile ACB - \smile AB}{2}$.

При этом сумма данного угла и центрального угла, опирающегося на меньшую дугу между точками касания, всегда равна $180^\circ$. Это свойство часто применяется для упрощения вычислений без прямого нахождения дуг.

Кратко по случаям

Примеры

Вписанный угол. Дано: вписанный угол $\angle ABC$ опирается на дугу $AC$, градусная мера которой равна $110^\circ$. Найдем величину угла $\angle ABC$.

По теореме о вписанном угле: $\angle ABC = \frac{1}{2} \smile AC = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$.

Ответ: $55^\circ$.

Угол между секущими. Дано: угол с вершиной $P$ вне окружности пересекает её так, что образуются дуги $AB = 120^\circ$ и $CD = 40^\circ$. Найдем угол $P$.

По теореме об угле с вершиной вне окружности: $\angle P = \frac{\smile AB - \smile CD}{2} = \frac{120^\circ - 40^\circ}{2} = 40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$.

Частые ошибки

• Путаница между формулами центрального и вписанного углов (забывают делить дугу на 2 для вписанного угла).
• Сложение дуг вместо вычитания при нахождении угла с вершиной вне окружности.
• Ошибочное применение свойств вписанного угла к углам, вершина которых не лежит на самой окружности.

Коротко

Таким образом, чтобы ответить на вопрос, как найти угол в окружности, нужно сначала определить положение его вершины относительно фигуры. В зависимости от этого применяются теоремы о центральных, вписанных углах, либо о полусумме и полуразности высекаемых дуг. Правильно найденный угол в окружности позволяет легко рассчитывать длины дуг и хорд.