Как найти вписанный угол в окружности

Чтобы понять, как найти вписанный угол в окружности, используйте теорему о его величине. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается, или половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Если вершина угла лежит на окружности, а стороны пересекают её, найдите дугу между точками пересечения. Опираясь на диаметр, вписанный угол в окружности всегда составляет строго девяносто градусов.

$\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \cup AC$

Разбор по случаям

Примеры

Расчёт через дугу. Дано: дуга $AC$, на которую опирается угол $\angle ABC$, имеет градусную меру $110^\circ$. Требуется вычислить величину вписанного угла. По классической теореме геометрии, вписанный угол равен половине градусной меры дуги окружности, заключённой между его сторонами.

Составляем уравнение: $\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \cup AC = \frac{1}{2} \cdot 110^\circ = 55^\circ$.

Ответ: искомый угол равен $55^\circ$.

Расчёт через центральный угол. Дано: центральный угол $\angle AOC = 84^\circ$. Найти вписанный угол $\angle ABC$, опирающийся на ту же дугу $AC$. Центральный угол равен дуге, на которую опирается, а вписанный — её половине. Значит, вписанный угол в два раза меньше центрального.

Находим: $\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \angle AOC = \frac{84^\circ}{2} = 42^\circ$.

Ответ: искомый угол равен $42^\circ$.

Расчёт через угол между касательной и хордой. В окружность вписан треугольник $ABC$. Через вершину $A$ проведена касательная $MN$. Известно, что угол между касательной $MA$ и хордой $AB$ равен $54^\circ$. Найдите вписанный угол $ACB$, опирающийся на хорду $AB$. По теореме об угле между касательной и хордой, градусная мера угла $MAB$ равна половине дуги $AB$, которую эта хорда стягивает. Вписанный угол $ACB$ также опирается на дугу $AB$ и равен её половине. Следовательно, угол $ACB$ равен углу $MAB$ и составляет $54^\circ$. Таким образом, искомый вписанный угол равен $54^\circ$.

Частые ошибки

• Приравнивание вписанного угла к градусной мере дуги вместо деления её величины пополам.
• Путаница центрального и вписанного углов, когда вписанный угол ошибочно считают равным центральному.
• Использование свойства прямоугольного треугольника для угла, который опирается не на диаметр, а на хорду.

Коротко

Теперь вы знаете, как найти вписанный угол в окружности через центральный угол или дугу. Достаточно разделить градусную меру соответствующей дуги или центрального угла на два.