Как найти длину диагонали прямоугольного параллелепипеда

Как найти длину диагонали прямоугольного параллелепипеда — по формуле $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, где $a$, $b$ и $c$ — длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины.

Формула получается двойным применением теоремы Пифагора: сначала находят диагональ основания, а затем достраивают прямоугольный треугольник из этой диагонали и высоты. Для куба, где все рёбра равны $a$, формула упрощается до $d = a\sqrt{3}$. Диагональ прямоугольного параллелепипеда всегда длиннее любого из его рёбер, потому что учитывает все три измерения фигуры одновременно.

Разбор по случаям

Примеры

Диагональ по трём рёбрам. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны $a = 3$ см, $b = 4$ см и $c = 12$ см.

Диагональ находят по формуле $d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

Число получилось целым, потому что тройка 3, 4, 12 и 13 образует пифагорову четвёрку. Такой пример удобен для проверки формулы вручную без калькулятора. Похожие тройки рёбер часто специально подбирают в задачниках, чтобы ответ получался круглым числом.

Диагональ куба. Куб имеет ребро $a = 5$ см, все его грани — равные квадраты.

Диагональ куба равна $d = a\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \approx 5 \cdot 1,732 \approx 8,66$ см.

Формулу можно проверить и через общую: $d = \sqrt{5^2 + 5^2 + 5^2} = \sqrt{75} \approx 8,66$ см — результат совпадает.

Такой способ быстрее, если заранее известно, что все рёбра равны, а отдельно измерять каждое ребро не требуется. Такой куб мог бы быть коробкой или крупным игральным кубиком, и диагональ здесь показывает, поместится ли внутри длинный предмет.

Частые ошибки

• Складывают рёбра напрямую без возведения в квадрат вместо применения теоремы Пифагора.
• Диагональ прямоугольного параллелепипеда путают с диагональю одной из его граней, забывая про третье измерение фигуры.
• Для куба используют формулу с тремя разными рёбрами вместо более простой $d = a\sqrt{3}$.

Коротко

Как найти длину диагонали прямоугольного параллелепипеда — по формуле $d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$, где $a$, $b$, $c$ — три ребра, выходящие из одной вершины. Для куба со всеми равными рёбрами формула упрощается до $d = a\sqrt{3}$.