Как найти длину параллелепипеда

Как найти длину параллелепипеда, зависит от того, какие величины даны в условии задачи. Если известен объём $V$ и два других измерения — ширина $b$ и высота $c$, длину находят по формуле $a = \dfrac{V}{bc}$, то есть делят объём на произведение оставшихся сторон.

Если вместо объёма дана диагональ $d$, применяют теорему Пифагора в пространстве: $a = \sqrt{d^2 - b^2 - c^2}$.

Длину всегда выражают в тех же единицах, что и остальные измерения фигуры.

Разбор по случаям

Примеры

Известны объём и два измерения. Объём параллелепипеда равен $V = 240$ см³, ширина коробки $b = 6$ см, а высота $c = 4$ см.

Чтобы найти длину, объём делят на произведение известных измерений: $a = \dfrac{V}{bc} = \dfrac{240}{6 \cdot 4} = \dfrac{240}{24} = 10$ см.

Проверка подстановкой подтверждает результат: $10 \cdot 6 \cdot 4 = 240$ см³, что в точности совпадает с объёмом из условия задачи. Такой способ годится для любой прямоугольной коробки, если два измерения из трёх уже известны.

Дана диагональ вместо объёма. Диагональ параллелепипеда равна $d = 13$ см, ширина коробки $b = 4$ см, а высота $c = 12$ см.

По теореме Пифагора в пространстве длину находят так: $a = \sqrt{d^2 - b^2 - c^2} = \sqrt{169 - 16 - 144} = \sqrt{9} = 3$ см.

Обратная проверка через все три измерения даёт $\sqrt{3^2+4^2+12^2} = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13$ см, что в точности совпадает с диагональю из условия задачи.

Такой приём применяют, когда в задаче измерения не даны напрямую, а спрятаны за длиной диагонали.

Частые ошибки

• Путают длину, ширину и высоту — в задаче важно не название, а какие два измерения уже известны.
• Забывают, что для диагонали формула трёхмерная, и используют плоскую теорему Пифагора с одним катетом.
• При делении объёма на произведение измерений забывают одно из чисел и получают неверную длину.

Коротко

Как найти длину параллелепипеда, показывают формулы через объём, диагональ или площадь поверхности — выбор зависит от того, что дано в условии. Если два измерения известны, третье всегда находится однозначно. Длина параллелепипеда — не единственное измерение, которое ищут этим же способом.