Как найти длину вектора по его координатам

Отвечая на вопрос, как найти длину вектора по его координатам, используют извлечение квадратного корня из суммы их квадратов. Для двумерного вектора на плоскости складывают квадраты двух координат. В трехмерном пространстве суммируют квадраты трех проекций. Если известны координаты начала и конца, предварительно находят их разности, после чего вычисляют модуль вектора по стандартной математической формуле.

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Разбор по случаям

Примеры

Вектор в пространстве. Дано: вектор $\vec{a}(3; -4; 12)$. Найдём его длину в пространстве. Решение: применяем формулу модуля вектора через корень из суммы квадратов координат.

Выполняем расчёт: $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Искомая длина вектора по его координатам равна 13 единиц.

Вектор по двум точкам. Дано: точки $A(1; 2)$ и $B(4; 6)$. Найдём модуль вектора $\vec{AB}$. Решение: вычисляем координаты вектора вычитанием из конца начала: $x = 4 - 1 = 3$, $y = 6 - 2 = 4$.

Применяем формулу: $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: длина равна 5.

Вектор на плоскости. Даны координаты двумерного вектора $\vec{a}(6; -8)$ на плоскости. Требуется вычислить его длину. Для этого применяем формулу извлечения квадратного корня из суммы квадратов координат. Сначала возводим первую координату в квадрат: $6^2 = 36$. Затем возводим вторую координату в квадрат: $(-8)^2 = 64$. Складываем два полученных числа: $36 + 64 = 100$. Извлекаем квадратный корень из полученной итоговой суммы: $\sqrt{100} = 10$. Таким образом, искомый модуль заданного вектора $\vec{a}$ равен $10$ единицам. Этот расчетный алгоритм универсален и применим для любых векторов на плоскости с произвольными значениями абсциссы и ординаты.

Частые ошибки

• Запись отрицательной координаты без скобок при возведении в квадрат приводит к ошибке в знаках.
• Забытое извлечение квадратного корня в конце решения дает квадрат модуля вместо длины.
• Сложение координат вместо сложения их квадратов является грубой арифметической ошибкой.

Коротко

Понимание того, как найти длину вектора по его координатам, сводится к последовательному возведению проекций в квадрат с последующим извлечением корня. Этот универсальный алгоритм одинаково работает как на плоскости, так и в пространстве.