Как найти длину вектора AB

Чтобы понять, как найти длину вектора AB, необходимо знать координаты его начальной точки A и конечной точки B. На плоскости длина вектора AB равна квадратному корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат точек B и A. Если заданы координаты самого вектора, модуль вычисляется как корень из суммы квадратов его составляющих. В трехмерном пространстве к формуле просто добавляется третья аппликата точки.

$|\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

Разбор по случаям

Примеры

Длина вектора на плоскости. Даны точки $A(1, 4)$ и $B(5, 7)$. Сначала находим координаты вектора $\vec{AB}$, вычитая из координат конца координаты начала: $X = 5 - 1 = 4$, $Y = 7 - 4 = 3$.

Затем применяем формулу длины: $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Таким образом, искомая длина вектора AB составляет ровно $5$ единиц.

Длина вектора в пространстве. Найдем модуль вектора по вершинам $A(2, -3, 1)$ и $B(4, 1, -1)$ в пространстве. Вычисляем проекции: $x = 4 - 2 = 2$, $y = 1 - (-3) = 4$, $z = -1 - 1 = -2$.

Подставляем значения в формулу: $|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

Окончательная длина вектора AB равна $2\sqrt{6}$.

Частые ошибки

• Вычитание координат точки B из A вместо вычитания координат A из B меняет направление вектора, хотя на расчет длины из-за возведения в квадрат это не влияет.
• Забытый знак минус при возведении отрицательной координаты в квадрат приводит к ошибкам в знаке под корнем.
• Извлечение квадратного корня отдельно из каждого слагаемого вместо суммы всех квадратов является грубой алгебраической ошибкой.

Коротко

Основное правило того, как найти длину вектора AB, заключается в возведении в квадрат разностей координат его концов с последующим суммированием и извлечением корня. Точное вычисление модулей позволяет находить расстояния между точками на плоскости и в трехмерном пространстве.