Как найти координаты вектора

Чтобы понять, как найти координаты вектора, необходимо из координат его конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки. На плоскости вектор задается двумя числами, а в трехмерном пространстве — тремя. Если известны координаты нескольких составляющих векторов, координаты вектора суммы или разности находятся путем сложения либо вычитания их одноименных компонент. Также компоненты можно определить через разложение по ортам координатных осей.

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$

Разбор по случаям

Примеры

Нахождение по двум точкам. Даны точки $A(2, -4, 5)$ и $B(7, 1, -3)$. Чтобы вычислить значение $\vec{AB}$, вычтем из значений конца $B$ значения начала $A$. Получаем по оси $X$: $7 - 2 = 5$, по оси $Y$: $1 - (-4) = 5$, по оси $Z$: $-3 - 5 = -8$. Следовательно, искомые координаты вектора равны $\vec{AB} = (5; 5; -8)$.

Сложение и умножение на число. Даны векторы $\vec{a} = (3; -1)$ и $\vec{b} = (-2; 4)$.

Найдем компоненты вектора $\vec{c} = 2\vec{a} + \vec{b}$.

Сначала умножим $\vec{a}$ на $2$: $2\vec{a} = (6; -2)$. Затем прибавим компоненты $\vec{b}$: по $X$ вычисляем $6 + (-2) = 4$, по $Y$ получаем $-2 + 4 = 2$. Таким образом, результат равен $\vec{c} = (4; 2)$.

Нахождение по длине и углу. Найдем координаты вектора $\vec{a}$, если известна его длина $d = 10$ и угол $\alpha = 150^\circ$ между вектором и положительным направлением оси $OX$. Для вычисления горизонтальной и вертикальной компонент вектора используем тригонометрические формулы проекций $a_x = d \cos\alpha$ и $a_y = d \sin\alpha$.

Сначала подставим числовые значения в формулу первой компоненты: $a_x = 10 \cdot \cos 150^\circ = 10 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -5\sqrt{3}$.

Затем аналогично вычислим значение второй компоненты: $a_y = 10 \cdot \sin 150^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$.

Искомые координаты вектора записаны в виде пары чисел $\vec{a} = (-5\sqrt{3}; 5)$. Отрицательный знак первой координаты обусловлен второй четвертью.

Частые ошибки

• Вычитание координат конца из координат начала вместо обратного порядка.
• Невнимательность к знакам при вычитании отрицательных чисел.
• Путаница между координатами точек и компонентами самого вектора.

Коротко

Правило, объясняющее, как найти координаты вектора, требует вычитания начальных значений из конечных или алгебраического сложения составляющих компонент. Если точно следовать алгоритму и учитывать знаки, вычисления выполняются быстро и без ошибок.