Как найти длины высот

Как найти длины высот — вычислить площадь треугольника через формулу Герона или через две стороны и угол между ними, а затем для каждой высоты применить формулу $h_a=\dfrac{2S}{a}$, где a — сторона, к которой проведена высота. В прямоугольном треугольнике катеты сами служат высотами друг к другу, а высоту к гипотенузе находят через площадь. Способ вычисления зависит только от того, какие данные известны в условии задачи.

Разбор по случаям

Примеры

Равнобедренный треугольник. Дан треугольник со сторонами $a=5\text{ см}$, $b=5\text{ см}$ и основанием $c=6\text{ см}$.

Полупериметр: $p=\dfrac{5+5+6}{2}=8\text{ см}$.

Площадь по формуле Герона: $S=\sqrt{8\cdot3\cdot3\cdot2}=\sqrt{144}=12\text{ см}^2$.

Высота к основанию: $h_c=\dfrac{2\cdot12}{6}=4\text{ см}$.

Высоты к боковым сторонам можно найти по этой же формуле, только у площади остаётся тот же результат в 12 квадратных сантиметров.

Проверить результат можно теоремой Пифагора: половина основания равна 3 см, а $\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\text{ см}$ совпадает с найденной высотой.

Прямоугольный треугольник. Дан прямоугольный треугольник с катетами $a=6\text{ см}$ и $b=8\text{ см}$, гипотенуза $c=10\text{ см}$.

Площадь через катеты: $S=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot8=24\text{ см}^2$.

Высота к гипотенузе: $h_c=\dfrac{2\cdot24}{10}=4{,}8\text{ см}$.

Высоты к катетам совпадают с самими катетами, потому что угол между ними прямой: $h_a=8\text{ см}$ и $h_b=6\text{ см}$. Такой приём часто используют в задачах на нахождение всех трёх высот сразу. Проверка площади через полупроизведение катетов также подтверждает результат в 24 квадратных сантиметра, что совпадает с найденным ранее значением площади фигуры.

Частые ошибки

• Путают высоту треугольника с медианой или биссектрисой и используют не ту формулу расчёта.
• Забывают, что в тупоугольном треугольнике основание высоты может лежать вне самой стороны.
• Считают площадь по формуле Герона неверно, переставляя местами полупериметр и стороны в множителях.

Коротко

Как найти длины высот — вычислить площадь треугольника любым доступным способом, а затем разделить удвоенную площадь на длину соответствующей стороны. В прямоугольном треугольнике катеты уже являются высотами друг к другу, что заметно упрощает вычисления.