Как найти угол, зная длины сторон треугольника

Вопрос «Как найти угол, зная длины сторон треугольника» решают через теорему косинусов: cos α = (b²+c²−a²)/(2bc), где a — сторона напротив искомого угла α, а b и c — две другие стороны. Получив значение косинуса, угол находят функцией арккосинус на калькуляторе. В прямоугольном треугольнике проще: угол ищут через синус как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Такой же приём годится и для равнобедренного треугольника, где угол при основании находят через половину основания и боковую сторону.

$\cos\alpha = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

Разбор по случаям

Примеры

три произвольные стороны. Стороны треугольника $a = 5$ см, $b = 6$ см, $c = 7$ см, ищем угол α против стороны a.

По теореме косинусов: $\cos\alpha = \frac{36+49-25}{2\cdot6\cdot7} = \frac{60}{84} \approx 0{,}714$.

Через арккосинус получаем $\alpha \approx 44{,}4°$. Это самый маленький угол треугольника, потому что он лежит против самой короткой из трёх заданных сторон. Два других угла считают тем же способом, подставляя в числитель формулы другую сторону, и в сумме все три угла дают ровно 180°.

прямоугольный треугольник. Катет $a = 3$ см, гипотенуза $c = 5$ см — классический прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5.

Угол против катета a находят через синус: $\sin\alpha = \frac{3}{5} = 0{,}6$, откуда $\alpha \approx 36{,}9°$.

Второй острый угол треугольника тогда равен $90° - 36{,}9° = 53{,}1°$, ведь сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда равна 90°. Проверить результат можно и через теорему косинусов, подставив все три стороны 3, 4 и 5 в общую формулу.

Частые ошибки

• Путают, какая сторона стоит против искомого угла, и подставляют не ту сторону в числитель формулы.
• Забывают взять арккосинус после вычисления самого косинуса и записывают ответом число от минус единицы до единицы.
• Применяют громоздкую теорему косинусов там, где проще воспользоваться синусом в прямоугольном треугольнике.

Коротко

Вопрос «Как найти угол, зная длины сторон треугольника» решается через теорему косинусов и последующее вычисление арккосинуса. Такой угол по трём сторонам треугольника в прямоугольном случае упрощается до синуса или косинуса острого угла через катеты и гипотенузу.