Как найти гипотенузу по катету и углу

Как найти гипотенузу по катету и углу: если данный угол лежит напротив известного катета, гипотенузу находят делением этого катета на синус угла. Если же угол расположен между катетом и гипотенузой, тот же катет делят на косинус угла вместо синуса. В обоих случаях используют острый угол прямоугольного треугольника, а сама гипотенуза всегда получается длиннее исходного катета в задаче.

$c = \frac{a}{\sin\alpha}$

Разбор по случаям

Примеры

Угол напротив катета. В прямоугольном треугольнике один катет равен $8\text{ см}$, а угол, лежащий напротив этого катета, равен $30^\circ$ по условию задачи. Гипотенузу в такой ситуации находят по формуле $c = \frac{a}{\sin\alpha}$. Синус угла $30^\circ$ по таблице равен $0{,}5$.

Подставляют известные числа в формулу: $c = \frac{8}{0{,}5} = 16\text{ см}$.

Гипотенуза оказалась ровно вдвое длиннее катета, что полностью соответствует известному свойству угла $30^\circ$.

Угол между катетом и гипотенузой. В прямоугольном треугольнике один катет равен $9\text{ см}$, а угол между этим катетом и гипотенузой равен $60^\circ$ по условию задачи. Гипотенузу в этом случае находят по другой формуле: $c = \frac{a}{\cos\alpha}$. Косинус угла $60^\circ$ по таблице равен $0{,}5$.

Подставляют известные числа в формулу: $c = \frac{9}{0{,}5} = 18\text{ см}$.

Результат снова оказался вдвое больше катета из-за значения косинуса угла $60^\circ$.

Частые ошибки

• Путают синус и косинус угла в зависимости от того, где именно расположен этот угол.
• Подставляют в формулу значение второго катета вместо гипотенузы или наоборот.
• Забывают, что гипотенуза прямоугольного треугольника всегда длиннее любого из его катетов.

Коротко

Как найти гипотенузу по катету и углу — разделить катет на синус угла, если угол напротив него, или на косинус, если угол между катетом и гипотенузой. Выбор функции зависит только от расположения угла относительно катета.