Как найти длину катета в прямоугольном треугольнике

Катет прямоугольного треугольника чаще всего находят по теореме Пифагора: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$, где $c$ — гипотенуза, $b$ — второй катет. Отвечая на вопрос, как найти длину катета в прямоугольном треугольнике, если вместо стороны известен острый угол, применяют тригонометрию: $a = c\sin\alpha$ или $a = b\tan\alpha$ в зависимости от того, что дано. Если известна площадь и второй катет, длину катета находят из формулы площади треугольника. Такой выбор формулы зависит от того, что дано в условии.

Разбор по случаям

Примеры

Гипотенуза и катет. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $c = 13$ см, один из катетов равен $b = 5$ см, требуется найти сам катет $a$, лежащий напротив другого острого угла.

По теореме Пифагора: $a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Стороны $5$, $12$ и $13$ см образуют классический пифагоров треугольник, что легко проверить обратной подстановкой: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

Искомая сторона равна $12$ см. Такой набор сторон часто встречается в школьных задачах по геометрии.

Площадь и катет. Площадь прямоугольного треугольника равна $S = 24$ см², один из катетов равен $b = 6$ см, а длину второго катета нужно найти из этих данных.

Из формулы площади $S = \dfrac{1}{2}ab$ выражают искомую сторону: $a = \dfrac{2S}{b} = \dfrac{2 \cdot 24}{6} = \dfrac{48}{6} = 8$ см.

Проверка подстановкой: $\dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см², площадь совпадает с условием задачи.

Значит, длина второго катета равна $8$ см, а гипотенуза при этом равна $10$ см.

Частые ошибки

• Складывают квадраты сторон вместо вычитания, находя гипотенузу вместо катета.
• Путают синус с косинусом или с тангенсом и берут не ту сторону при работе с углом.
• Забывают коэффициент одна вторая в формуле площади и делят площадь на катет напрямую.

Коротко

Значит, чтобы понять, как найти длину катета в прямоугольном треугольнике, выбирают формулу под то, что дано: теорему Пифагора для двух сторон, тригонометрию для угла и стороны, площадь для второго катета. Способ вычисления один — все формулы выводятся из этих трёх исходных.