Как найти косинус угла в прямоугольном треугольнике

Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $\cos\alpha = \dfrac{b}{c}$. Отвечая на вопрос, как найти косинус угла в прямоугольном треугольнике, определяют катет, который прилежит к нужному углу, и делят его на гипотенузу. Если гипотенуза не дана, но известны оба катета, её сначала находят по теореме Пифагора, а уже потом делят прилежащий катет на результат. Такой же способ подходит для вычисления косинуса второго острого угла того же треугольника.

$\cos\alpha = \frac{b}{c}$

Разбор по случаям

Примеры

Известны катет и гипотенуза. В прямоугольном треугольнике прилежащий к углу $\alpha$ катет равен $3$ см, гипотенуза равна $5$ см — стороны образуют классический треугольник $3$–$4$–$5$.

По определению $\cos\alpha = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$.

Второй катет здесь не нужен для этого расчёта, он потребовался бы только для тангенса или синуса того же угла. Ответ: косинус угла равен $0{,}6$.

Известен синус угла. Известно, что $\sin\alpha = 0{,}6$, а угол $\alpha$ острый и лежит в прямоугольном треугольнике.

По основному тригонометрическому тождеству $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - 0{,}36} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8$.

Корень берут со знаком плюс, потому что острый угол не может иметь отрицательный косинус. Ответ: $\cos\alpha = 0{,}8$. Такой способ применяют, когда в задаче сразу дан синус угла без сторон треугольника, например в текстовых задачах по физике.

Частые ошибки

• Путают прилежащий и противолежащий катет и делят на гипотенузу не ту сторону.
• Делят катет на катет вместо катета на гипотенузу, получая тангенс вместо косинуса.
• Берут отрицательный корень при вычислении косинуса через синус, хотя острый угол даёт только положительное значение.

Коротко

Чтобы понять, как найти косинус угла в прямоугольном треугольнике, всегда делят прилежащий катет на гипотенузу, а не на второй катет. Если стороны неизвестны, но дан синус угла, косинус находят через основное тригонометрическое тождество с положительным корнем.