Как найти коллинеарные векторы

Как найти коллинеарные векторы — проверить, равен ли нулю определитель, составленный из их координат: $x_1y_2-x_2y_1=0$. Если равенство выполняется, координаты векторов пропорциональны и один вектор выражается через другой с некоторым числовым коэффициентом $k$. Проверку можно провести и через равенство отношений соответствующих координат, если ни одна из координат второго вектора не равна нулю. Отрицательный коэффициент означает противоположное направление при сохранении коллинеарности, а нулевой вектор считается коллинеарным любому другому по определению.

Разбор по случаям

Примеры

Проверка определителем. Даны векторы $\vec{a}=(2;4)$ и $\vec{b}=(3;6)$.

Составляем определитель из координат: $x_1y_2-x_2y_1=2\cdot6-3\cdot4=12-12=0$.

Так как значение равно нулю, векторы коллинеарны. Коэффициент пропорциональности находим из отношения координат: $k=\dfrac{3}{2}=1{,}5$, и действительно $\vec{b}=1{,}5\vec{a}$, потому что $1{,}5\cdot2=3$ и $1{,}5\cdot4=6$. Положительный коэффициент означает, что векторы направлены в одну и ту же сторону.

Противоположное направление. Даны векторы $\vec{a}=(4;-2)$ и $\vec{b}=(-6;3)$.

Проверяем определитель: $x_1y_2-x_2y_1=4\cdot3-(-6)\cdot(-2)=12-12=0$, значит векторы коллинеарны, хотя направлены в противоположные стороны.

Коэффициент $k=\dfrac{-6}{4}=-1{,}5$ подтверждается и по второй координате: $-1{,}5\cdot(-2)=3$. Отрицательный знак $k$ показывает, что векторы лежат на одной прямой, но направлены противоположно, что и показывает отрицательный знак коэффициента пропорциональности.

Частые ошибки

• Проверяют пропорциональность только по одной координате из двух и делают вывод раньше времени.
• Забывают, что при нулевой координате способ через дроби не работает, и не считают определитель вовсе.
• Путают коллинеарные векторы с равными векторами, хотя коллинеарные могут отличаться по длине и направлению.

Коротко

Как найти коллинеарные векторы — составить определитель из их координат и проверить его равенство нулю, либо сравнить отношения соответствующих координат друг с другом. Они лежат на одной прямой или на параллельных прямых независимо от их длины и направления в пространстве.