Как найти угол, зная катеты

Как найти угол, зная катеты — разделить противолежащий катет на прилежащий и взять арктангенс полученного числа: $\tan \alpha = \frac{a}{b}$, значит $\alpha = \arctan\left(\frac{a}{b}\right)$.

Катет a лежит напротив искомого угла, катет b — рядом с ним, между углом и прямым углом треугольника. Ответ получают в градусах с помощью калькулятора или таблицы значений арктангенса, а два острых угла прямоугольного треугольника в сумме всегда дают 90 градусов.

Разбор по случаям

Примеры

Угол по катетам 3 и 4. Даны катеты $a = 3\text{ см}$ (противолежащий) и $b = 4\text{ см}$ (прилежащий).

Находим тангенс угла: $\tan \alpha = \frac{3}{4} = 0{,}75$.

Через арктангенс получаем сам угол: $\alpha = \arctan(0{,}75) \approx 37^\circ$.

Второй острый угол дополняет первый до 90 градусов: $\beta = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ$.

Такая пара катетов часто встречается в задачах именно потому, что углы получаются близкими к круглым числам. Проверить ответ легко: сумма 37 и 53 градусов даёт ровно 90, как и положено в прямоугольном треугольнике.

Угол по равным катетам. Даны катеты $a = 5\text{ см}$ и $b = 5\text{ см}$ — они равны между собой.

Тангенс угла: $\tan \alpha = \frac{5}{5} = 1$.

Арктангенс единицы равен ровно $\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$ без округления, потому что это табличное значение.

Второй острый угол тоже равен $\beta = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$, значит треугольник равнобедренный: оба острых угла равны, а катеты имеют одинаковую длину.

Такой случай стоит запомнить отдельно, потому что угол получается ровно 45 градусов без калькулятора, что удобно использовать как готовый ответ для похожих задач.

Частые ошибки

• Путают, какой катет считается противолежащим, а какой прилежащим, и в итоге получают обратный (дополнительный) угол.
• Ищут угол через синус или косинус катета к катету вместо тангенса.
• Забывают перевести результат арктангенса из радиан в градусы на калькуляторе.

Коротко

Как найти угол, зная катеты — разделить противолежащий катет на прилежащий и взять арктангенс результата. Второй острый угол прямоугольного треугольника находят вычитанием первого из 90 градусов, а сумма обоих острых углов всегда равна прямому углу.