Как найти периметр многоугольника, описанного около окружности

Чтобы понять, как найти периметр многоугольника, описанного около окружности, используют формулу через площадь фигуры и радиус вписанной окружности: полупериметр умножают на радиус, чтобы получить площадь, поэтому периметр равен удвоенной площади, делённой на радиус. Для правильного многоугольника проще умножить длину одной стороны на общее число сторон, если все стороны фигуры одинаковые по длине. Такой способ работает для любого многоугольника с вписанной окружностью, не только для правильных фигур с равными сторонами и углами.

$P = \frac{2S}{r}$

Разбор по случаям

Примеры

Правильный шестиугольник. Правильный шестиугольник описан около окружности, длина его стороны равна $a = 5\text{ см}$, число сторон $n = 6$.

Периметр правильного многоугольника равен произведению стороны на число сторон: $P = n \cdot a = 6 \cdot 5 = 30$.

Получается периметр $30\text{ см}$. Такой расчёт проще общей формулы через площадь и подходит, если все стороны фигуры заведомо равны между собой. Проверка через формулу площади и радиуса вписанной окружности при подстановке соответствующих значений даёт тот же самый результат.

Неправильный многоугольник. Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна $S = 60\text{ см}^2$, а радиус вписанной окружности $r = 5\text{ см}$.

Периметр находят по формуле $P = \frac{2S}{r}$: $P = \frac{2 \cdot 60}{5} = 24$.

Периметр фигуры равен $24\text{ см}$. Такое значение не зависит от того, сколько сторон у многоугольника и правильный он или нет, если окружность действительно вписана и без разрывов касается каждой стороны фигуры без исключения.

Частые ошибки

• Используют формулу площади треугольника вместо общей формулы для произвольного описанного многоугольника.
• Делят площадь на диаметр вписанной окружности вместо радиуса, что вдвое занижает итоговый результат.
• Складывают стороны неправильного многоугольника, ошибочно считая фигуру правильной и равносторонней.

Коротко

Чтобы понять, как найти периметр многоугольника, описанного около окружности, проще всего разделить удвоенную площадь фигуры на радиус вписанной окружности. Для правильного многоугольника результат также получают прямым умножением стороны на число сторон.