Как найти длину части окружности

Вопрос «Как найти длину части окружности» решают по формуле l = (π r α)/180°, где r — радиус, а α — центральный угол дуги в градусах. Если угол дан в радианах, формула упрощается до l = r·φ. По сути дуга — это доля от длины всей окружности 2πr, равная отношению её угла к полным 360°. Чем больше центральный угол, тем длиннее соответствующая дуга при том же радиусе.

$l = \frac{\pi r \alpha}{180°}$

Разбор по случаям

Примеры

угол в градусах. Радиус окружности $r = 9$ см, центральный угол дуги $\alpha = 60°$.

Длину части окружности находят по формуле $l = \frac{\pi r \alpha}{180°}$: подставляем значения и получаем $l = \frac{3{,}14 \cdot 9 \cdot 60}{180} = \frac{1695{,}6}{180} \approx 9{,}42$ см.

Угол 60° составляет ровно шестую часть от полного оборота в 360°, поэтому дугу можно проверить и через шестую долю длины окружности: $\frac{2\pi r}{6} = \frac{2\cdot3{,}14\cdot9}{6} \approx 9{,}42$ см — результат совпал с первым способом.

угол в радианах. Радиус окружности $r = 4$ см, центральный угол $\varphi = \frac{\pi}{2}$ радиан, что соответствует прямому углу в 90°.

Длину дуги находят проще: $l = r\varphi = 4 \cdot \frac{3{,}14}{2} = 4 \cdot 1{,}57 \approx 6{,}28$ см.

Радианная мера удобна именно тем, что убирает необходимость делить на 180° при каждом вычислении длины дуги окружности на любом радиусе. Такая четверть окружности встречается в задачах про сектора и квадранты чаще других углов.

Частые ошибки

• Забывают перевести угол из градусов в радианы или наоборот и подставляют его в чужую формулу.
• Путают длину дуги с площадью сектора, хотя это разные величины с разными единицами измерения.
• Используют диаметр вместо радиуса в формуле, что вдвое завышает итоговую длину полученной дуги.

Коротко

Вопрос «Как найти длину части окружности» решается через центральный угол дуги и радиус: в градусах — по формуле с делением на 180°, в радианах — простым умножением радиуса на угол. Оба способа дают одинаковый результат, если правильно перевести единицы измерения угла.