Как найти радиус окружности по длине хорды

Как найти радиус окружности по длине хорды: способ зависит от того, что известно дополнительно к самой хорде. Если дано расстояние от центра до хорды, радиус вычисляют через прямоугольный треугольник по теореме Пифагора, где катеты — половина хорды и это расстояние. Если известен центральный угол, опирающийся на хорду, радиус находят через синус половины угла. При известной высоте сегмента радиус выражают через хорду и эту высоту.

$r = \sqrt{\left(\frac{c}{2}\right)^2 + d^2}$

Разбор по случаям

Примеры

Хорда и расстояние до центра. Хорда окружности $c = 16$ см, расстояние от центра до хорды $d = 6$ см.

Половина хорды равна $8$ см, поэтому радиус $r = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10\text{ см}$.

Получился прямоугольный треугольник со сторонами 6, 8 и 10 см, где гипотенузой служит сам искомый радиус окружности. Такую тройку чисел удобно запомнить и использовать для быстрой проверки решения без калькулятора.

Хорда и центральный угол. Хорда $c = 12$ см стягивает центральный угол $\theta = 60^\circ$.

Радиус находят по формуле $r = \frac{c}{2\sin(\theta/2)} = \frac{12}{2\sin 30^\circ} = \frac{12}{2\cdot 0{,}5} = 12\text{ см}$.

При угле 60° треугольник из двух радиусов и хорды получается равносторонним, поэтому хорда равна радиусу. Такое совпадение легко проверить прямо на глаз: у равностороннего треугольника все три стороны и все три угла одинаковы по определению.

Частые ошибки

• Радиус окружности по длине хорды путают с самой хордой и не делят её пополам перед вычислением.
• При работе с центральным углом забывают делить угол пополам перед вычислением синуса.
• Для высоты сегмента путают формулу радиуса с формулой площади самого сегмента.

Коротко

Итог: как найти радиус окружности по длине хорды — выбрать формулу под известную дополнительную величину: расстояние до центра, центральный угол или высоту сегмента. Во всех случаях расчёт сводится к прямоугольному треугольнику или простому тригонометрическому соотношению.