Как найти площадь части круга

Как найти площадь части круга — сектора, ограниченного двумя радиусами и дугой — по формуле $S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360}$, где $\alpha$ — центральный угол в градусах, а $r$ — радиус круга.

Если угол дан в радианах, используют формулу $S = \frac{1}{2} r^2 \varphi$.

Для площади сегмента — части круга между хордой и дугой — из площади сектора вычитают площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой.

Разбор по случаям

Примеры

Сектор с углом 90°. Радиус круга равен $r = 6$ см, центральный угол сектора равен $\alpha = 90°$.

Площадь сектора считают по формуле $S = \frac{3,14 \cdot 36 \cdot 90}{360} = \frac{10173,6}{360} \approx 28,26$ см².

Такой сектор составляет ровно четверть круга, поэтому результат можно проверить делением всей площади круга на 4: $\frac{113,04}{4} = 28,26$ см². Оба способа расчёта дают одно и то же число, что подтверждает правильность формулы.

Сегмент круга. Радиус круга равен $r = 10$ см, центральный угол сектора равен $\alpha = 60°$.

Площадь сектора равна $S_{sect} = \frac{3,14 \cdot 100 \cdot 60}{360} \approx 52,33$ см².

Треугольник, образованный двумя радиусами и хордой, при угле 60° равносторонний, его площадь $S_{tri} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 10^2 \approx 43,3$ см².

Площадь сегмента равна $S_{seg} = 52,33 - 43,3 \approx 9,03$ см², то есть сегмент заметно меньше сектора.

Частые ошибки

• Радиус путают с диаметром и по ошибке подставляют в формулу диаметр вместо радиуса.
• Забывают, что для градусов и радианов действуют разные формулы, и смешивают их между собой.
• Площадь сегмента считают равной площади сектора, забывая вычесть площадь треугольника из результата.

Коротко

Как найти площадь части круга — через площадь сектора по формуле $S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360}$ для угла в градусах, а для сегмента дополнительно вычитают площадь треугольника. Способ выбирают в зависимости от того, ограничена ли часть круга радиусами или хордой.