Как найти площадь сегмента круга

Как найти площадь сегмента круга — вычесть из площади сектора площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой: $S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360} - \frac12 r^2 \sin\alpha$.

Треугольник получается равнобедренным, потому что обе его боковые стороны равны радиусу окружности, а основанием служит сама хорда сегмента. Если вместо угла дана хорда, центральный угол сначала находят через полухорду и радиус, а затем подставляют его в ту же формулу площади сектора.

Для угла, заданного в радианах, используют вид $S = \frac12 r^2(\alpha - \sin\alpha)$ без перевода в градусы и обратно.

$S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360} - \frac{1}{2} r^2 \sin\alpha$

Разбор по случаям

Примеры

Угол 60 градусов. Радиус $r = 8$ см, центральный угол $\alpha = 60°$.

Площадь сектора равна $S_{sect} = \frac{3{,}14 \cdot 64 \cdot 60}{360} \approx 33{,}49$ см².

Площадь треугольника равна $S_{tr} = \frac12 \cdot 64 \cdot \sin60° \approx 27{,}71$ см².

Площадь сегмента находят вычитанием: $S \approx 33{,}49 - 27{,}71 = 5{,}8$ см², это заметно меньше половины площади сектора, потому что угол сегмента небольшой и хорда почти совпадает с дугой.

Хорда равна радиусу. Радиус $r = 6$ см, хорда сегмента равна радиусу: $a = 6$ см.

Из формулы $\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{6}{12} = 0{,}5$ получают угол $\alpha = 60°$, а треугольник при этом равносторонний, потому что все три его стороны равны шести сантиметрам.

Площадь сектора равна $S_{sect} = \frac{3{,}14 \cdot 36 \cdot 60}{360} \approx 18{,}84$ см², площадь треугольника $S_{tr} \approx 15{,}59$ см², площадь сегмента $S \approx 3{,}25$ см².

Такой приём с хордой полезен, если угол на чертеже не подписан.

Частые ошибки

• Синус угла путают с самим углом в радианах и подставляют его в формулу без пересчёта.
• Из площади сектора вычитают площадь всего круга целиком, а не площадь треугольника при центре.
• Через хорду находят синус целого угла вместо синуса половины угла, деля хорду не на удвоенный радиус.

Коротко

Как найти площадь сегмента круга — вычесть площадь треугольника при центре из площади сектора того же радиуса и угла. Если дана хорда вместо угла, угол находят через неё заранее, а формула площади остаётся прежней.