Как найти площадь кругового сектора

Как найти площадь кругового сектора: сначала находят площадь всего круга по формуле через радиус, а затем берут от неё долю, равную отношению угла сектора к полному углу 360 градусов. Если центральный угол сектора равен 90 градусам, сектор занимает четверть круга, значит его площадь равна четверти площади полного круга. Формула в общем виде: площадь сектора равна произведению числа π, квадрата радиуса и угла в градусах, делённому на 360.

$S = \dfrac{\pi r^2 \alpha}{360}$

Разбор по случаям

Примеры

Угол в градусах. Круговой сектор имеет радиус $r = 6\text{ см}$ и центральный угол $\alpha = 60^\circ$.

Площадь всего круга: $\pi r^2 = 3,14 \cdot 36 \approx 113,04\text{ см}^2$.

Сектор занимает долю $\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$ от полного круга, поэтому его площадь: $S = 113,04 : 6 \approx 18,84\text{ см}^2$.

Такой расчёт применяют, например, для куска пиццы или дольки круглого пирога, если известны радиус и угол раскрытия дольки из условия задачи.

Длина дуги. Круговой сектор имеет радиус $r = 10\text{ см}$ и длину дуги $L = 8\text{ см}$.

Площадь находят по формуле $S = \frac{1}{2} r L = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 = 40\text{ см}^2$.

Эта формула удобна, когда в условии дана именно длина дуги, а не угол сектора в градусах или радианах, что нередко бывает при разметке клумбы или детали в форме сектора.

Частые ошибки

• Забывают, что угол нужно делить на 360, и находят площадь всего круга вместо площади сектора.
• Путают формулу с длиной дуги и формулу с центральным углом, подставляя длину дуги вместо градусной меры.
• Не переводят угол из радианов в градусы и путают формулы для разных единиц измерения угла.

Коротко

Как найти площадь кругового сектора, зависит от того, что дано в условии: угол в градусах, угол в радианах или длина дуги. Во всех случаях площадь сектора — это доля от площади полного круга, соответствующая доле от полного угла или окружности.