Как найти площадь квадрата, описанного вокруг окружности

Как найти площадь квадрата, описанного вокруг окружности: сторона такого квадрата равна диаметру вписанной окружности, то есть удвоенному радиусу. Если известен радиус r, площадь равна $S = (2r)^2 = 4r^2$. Если известен сразу диаметр d, формула ещё проще: $S = d^2$. Для обратной задачи, когда дана площадь квадрата, радиус находят через корень: $r = \frac{\sqrt{S}}{2}$. Диагональ такого квадрата тоже связана с окружностью: она равна стороне, умноженной на корень из двух, и через неё тоже можно проверить площадь.

$S = 4r^2$

Разбор по случаям

Примеры

Через радиус окружности. Радиус окружности, вписанной в квадрат, $r = 3$ см. Сторона квадрата равна диаметру: $a = 2r = 2\cdot3 = 6$ см. Площадь квадрата $S = a^2 = 6^2 = 36$ см². Через готовую формулу получается то же самое: $S = 4r^2 = 4\cdot9 = 36$ см², значит оба способа расчёта совпадают между собой. Такой способ самый быстрый, если в условии сразу дан радиус вписанной окружности, а не сторона квадрата.

Через диагональ квадрата. Радиус вписанной окружности $r = 4$ см, сторона квадрата равна диаметру: $a = 2\cdot4 = 8$ см, площадь $S = 8^2 = 64$ см².

Диагональ квадрата равна $D = a\sqrt2 = 8\sqrt2 \approx 11{,}3$ см.

Проверка через диагональ: $S = \frac{D^2}{2} \approx \frac{11{,}3^2}{2} \approx 63{,}8$ см², что почти совпадает с точным значением 64 см², а небольшое расхождение вызвано округлением корня из двух.

Такая проверка удобна, когда диагональ измерена на чертеже, а радиус окружности неизвестен напрямую.

Частые ошибки

• Путают радиус и диаметр окружности, из-за чего сторона квадрата получается в два раза меньше нужной.
• Считают площадь квадрата как площадь окружности, применяя число пи там, где оно не нужно.
• Забывают возвести диаметр или сторону в квадрат и оставляют линейную величину вместо площади, хотя единицы измерения тоже должны стать квадратными.

Коротко

Итог: Как найти площадь квадрата, описанного вокруг окружности — сторону приравнивают к диаметру и возводят в квадрат. Через радиус это $S = 4r^2$, а через диаметр — $S = d^2$. Оба варианта дают одинаковый результат, если радиус и диаметр относятся к одной и той же окружности.