Как найти площадь квадрата внутри квадрата

Как найти площадь квадрата внутри квадрата — если вершины внутреннего квадрата делят стороны внешнего на отрезки $x$ и $a-x$, площадь равна сумме квадратов этих отрезков: $S = x^2 + (a-x)^2$, где $a$ — сторона большого квадрата. Простейший случай — когда точки взяты на серединах сторон, то есть $x = \frac{a}{2}$: тогда площадь внутреннего квадрата равна ровно половине площади внешнего, $S = \frac{a^2}{2}$. Формула работает при любом положении точек на сторонах, если оно одинаковое для всех четырёх сторон.

Разбор по случаям

Примеры

Квадрат по серединам сторон. Сторона внешнего квадрата равна $a = 10$ см, внутренний квадрат образован соединением середин его сторон.

Площадь внешнего квадрата равна $S_{out} = 10^2 = 100$ см², а площадь внутреннего равна половине: $S_{in} = \frac{100}{2} = 50$ см².

Проверить можно и по общей формуле: $x = 5$ см, $S = 5^2 + 5^2 = 25+25=50$ см² — числа совпадают, значит формула проверена верно. Внутренний квадрат при этом повёрнут относительно внешнего на 45°.

Смещение от углов на 3 см. Сторона внешнего квадрата равна $a = 10$ см, вершины внутреннего квадрата смещены от каждого угла на $x = 3$ см. Оставшийся отрезок стороны равен $a - x = 7$ см.

Площадь внутреннего квадрата равна $S = 3^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58$ см².

Этот способ работает при любом положении точек, не только на серединах сторон, лишь бы отступ был совершенно одинаковым во всех четырёх углах фигуры.

Частые ошибки

• Площадь внутреннего квадрата считают как обычный квадрат со стороной, равной стороне внешнего минус отступ, забывая про поворот фигуры.
• Складывают отрезки x и a-x вместо возведения их в квадрат и последующего сложения результатов.
• Путают случай смещения вершин по сторонам с случаем равномерной рамки вокруг меньшего квадрата.

Коротко

Как найти площадь квадрата внутри квадрата — через формулу $S = x^2 + (a-x)^2$, если вершины внутреннего квадрата смещены от углов внешнего на отрезок $x$. Для случая середин сторон это упрощается до половины площади внешнего квадрата, $S = \frac{a^2}{2}$.