Как найти площадь сегмента окружности

Как найти площадь сегмента окружности, показывает разность двух площадей: сектора и треугольника, образованного двумя радиусами и хордой.

Формула $S = \frac{r^2}{2}\left(\frac{\pi \alpha}{180} - \sin\alpha\right)$ работает, когда известны радиус $r$ и центральный угол $\alpha$ в градусах.

Если вместо угла дана хорда или высота сегмента (сагитта), угол сначала находят через них, а затем подставляют в ту же формулу разности площадей, а численный множитель $\pi/180$ переводит градусы в радианы для формулы синуса.

$S = \frac{r^2}{2}\left(\frac{\pi\alpha}{180} - \sin\alpha\right)$

Разбор по случаям

Примеры

Радиус и угол 90°. Радиус окружности равен $r = 6$ см, центральный угол сегмента $\alpha = 90°$.

По формуле $S = \frac{r^2}{2}\left(\frac{\pi\alpha}{180} - \sin\alpha\right)$ подставляют числа: $S = \frac{36}{2}\left(\frac{3,14 \cdot 90}{180} - \sin90°\right) = 18 \cdot (1,57 - 1) = 18 \cdot 0,57 = 10,26$ см².

Сегмент — это часть круга между хордой и дугой, меньшая, чем половина всего круга. Если бы угол был больше 180°, сегмент занимал бы уже большую часть круга, а треугольник в вычитании считался бы иначе.

Угол 180° — сегмент-полукруг. Радиус окружности равен $r = 4$ см, а центральный угол сегмента равен $\alpha = 180°$, то есть хорда — это диаметр.

Треугольник при таком угле вырождается в отрезок, площадь которого равна нулю, поэтому сегмент совпадает с половиной круга: $S = \frac{\pi r^2}{2} = \frac{3,14 \cdot 16}{2} = 25,12$ см².

Это самый простой частный случай формулы сегмента, которым удобно проверять более сложные вычисления при других значениях угла.

Частые ошибки

• Забывают перевести градусы в радианы под знаком синуса, хотя часть формулы с $\pi\alpha/180$ уже в радианах, а $\sin\alpha$ берут от градусов.
• Площадь сектора путают с площадью сегмента и не вычитают площадь треугольника.
• При угле больше 180° площадь сегмента всё равно ищут как разность, хотя треугольник в этом случае нужно прибавлять, а не вычитать.

Коротко

Как найти площадь сегмента окружности — значит вычесть из площади сектора площадь треугольника, а угол при необходимости получить из хорды или высоты сегмента. При угле 180° вычисление упрощается до половины площади круга, потому что треугольник вырождается в отрезок.